Dessiner une conique

**Alfrodull** · 11/05/2013, 06h30

Bonjour à tous !

J'ai un petit soucis et j'espère que vous pourrez m'aider

:

J'essaie de dessiner une conique. Je n'ai pas de soucis quand j'ai son équation réduite ( ex : y²=2px pour une parabole ), mais je ne vois pas comment faire via l'équation générale ( ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0 ), n'étant pas un très bon matheux, ça me dépasse un peu

J'ai bien la solution de parcourir mon espace de dessin point par point et de vérifier si le point résout l'équation, mais niveau vitesse, c'est vraiment pas la joie... Et les équations réduites ne m'arrangent pas non plus, à moins de trouver comment passer de celles-ci à l'équation générale...

Donc voilà, si quelqu'un peut m'aider, je lui en serais extrêmement reconnaissant ^^ Merci d'avance !

PS : histoire d'être honnête, tout ceci se passe dans le cadre d'un projet de fac. Les coniques ne sont pas le point central du projet, mais sont suffisamment important pour m'empêcher d'avancer...

**Flodelarab** · 11/05/2013, 15h16

Il faut que tu lises un cours de math de spécialité math de terminale S. Il t'expliquera que quand on coupe un cône, on peut obtenir:

2 droites
Un cercle
Une ellipse
Une parabole
Une hyperbole

Facile à vérifier avec une lampe, un abat-jour, et un carton qui sert de plan de coupe.

Le cours te donnera surtout les formules pour calculer centre, foyers, excentricité, etc... et savoir dans quel cas tu te places.

Pour tracer, tu auras intérêt à prendre les équations paramétriques de la conique

J'espère ne pas avoir été trop laconique

**Alfrodull** · 13/05/2013, 05h14

Envoyé par Flodelarab

Il faut que tu lises un cours de math de spécialité math de terminale S. Il t'expliquera que quand on coupe un cône, on peut obtenir:

2 droites
Un cercle
Une ellipse
Une parabole
Une hyperbole

Facile à vérifier avec une lampe, un abat-jour, et un carton qui sert de plan de coupe.

Jusque là, ça va, j'arrivais à m'en sortir ^^

Envoyé par Flodelarab

Le cours te donnera surtout les formules pour calculer centre, foyers, excentricité, etc... et savoir dans quel cas tu te places.

Pour tracer, tu auras intérêt à prendre les équations paramétriques de la conique

C'est ce point là qui m'embête : est-ce que je dois obligatoirement savoir dans quel type de conique je suis pour pouvoir la tracer ? J'avais pensé à des équations paramétriques pour le dessin, mais impossible d'en trouver une générale... Est-ce que ça veut dire ce que je crains : il n'y en a tout simplement pas ?

Si c'est bien ça, il faut donc, en partant de l'équation générale que je trouve dans quel cas je suis pour la tracer. Seulement ça m'arrange pas du tout xD
Ça voudrait dire que
- soit je spécialise mes objets ( Java, POO, toussa toussa ) coniques à la construction, peut-être en allant voir du côté du design pattern Décorateur ( je découvre les DP, faut pas m'en vouloir si je dis n'importe quoi

)
- soit ma classe Conique obtient une fonction dessin() par type ( c'est trop dégeulasse comme façon de faire, ça ? )

Dans les deux cas, faut que je trouve donc une paramétrique par cas, comment trouver dans quel cas je suis, et comment passer de l'équation générale à la paramétrique ( et l'inverse aussi, tant qu'à faire :p ).

On est bien d'accord ?

Envoyé par Flodelarab

J'espère ne pas avoir été trop laconique

**Flodelarab** · 13/05/2013, 05h40

Fais une recherche google pour voir la représentation graphique de chacun des types que je t'ai donné.

Une parabole a 2 branches infinies.
Une hyperbole a 4 branches infinies.
Une ellipse ou un cercle est une courbe fermée. Tu ne vas pas la tracer à l'infini (à moins de vouloir tourner en rond et creuser la table

).

Donc, oui, tu vas devoir séparer les cas.

Pour les courbes paramétriques, prenons l'ellipse: (x:abscisse, y ordonnée)
x=r1.cos(t)
y=R2.cos(t)
Tu fais varier t et tu as tes coordonnées de point. C'est pas insurmontable.

Est-ce pour dessiner sur un graphique de ton choix?

**Alfrodull** · 13/05/2013, 05h52

Envoyé par Flodelarab

Fais une recherche google pour voir la représentation graphique de chacun des types que je t'ai donné.

Une parabole a 2 branches infinies.
Une hyperbole a 4 branches infinies.
Une ellipse ou un cercle est une courbe fermée. Tu ne vas pas la tracer à l'infini (à moins de vouloir tourner en rond et creuser la table

).

Donc, oui, tu vas devoir séparer les cas.

Et bah on va faire avec alors ^^

Envoyé par Flodelarab

Pour les courbes paramétriques, prenons l'ellipse: (x:abscisse, y ordonnée)
x=r1.cos(t)
y=R2.cos(t)
Tu fais varier t et tu as tes coordonnées de point. C'est pas insurmontable.

Non, c'est sûr que passer du paramétrique au dessin est loin d'être mon problème principal ^^ Passer de ax²+bxy+ ... à l'équation paramétrique m'embête un peu plus :p

Envoyé par Flodelarab

Est-ce pour dessiner sur un graphique de ton choix?

Je suis pas sûr de ce que tu entends par là, donc je vais répondre large : je dois pouvoir dessiner en openGL différentes figures, dont des coniques, définies par l'utilisateur. Grosso modo, c'est un clone de GeoGebra. Dans le cas des coniques par exemple, à partir de 5/6 points donnés par l'user, je dessine la conique correspondante.
Ça répond à ta question ?

Dans tous les cas, merci de t'intéresser à mon cas ^^

**Flodelarab** · 13/05/2013, 06h20

Pour la géométrie, j'utilisais kig (logiciel libre), du projet KDE. Il permet de tracer des coniques. Tu as peut-être des choses à glaner dedans. (code python j'imagine)

Je posais des questions pour le traçage car il faut se méfier des trous. Prendre l'hyperbole y=1/x pour des x de 1 en 1 fera disparaître les branches verticales.

Pour ta forme générale, Il suffit de mettre sous la forme ± (x - x0)²/a ± (y-y0)² /b= e , de faire un changement de repère et d'étudier les cas. En fait, tout ton boulot va consister à trouver le repère dans lequel les 5-6 points ont du sens pour une conique. La nature de la conique ne peut-elle pas être donnée par l'utilisateur?

**Alfrodull** · 13/05/2013, 07h04

Envoyé par Flodelarab

Pour la géométrie, j'utilisais kig (logiciel libre), du projet KDE. Il permet de tracer des coniques. Tu as peut-être des choses à glaner dedans. (code python j'imagine)

Je vais regarder ce que je peux en faire

Envoyé par Flodelarab

Pour ta forme générale, Il suffit de mettre sous la forme ± (x - x0)²/a ± (y-y0)² /b= e , de faire un changement de repère et d'étudier les cas. En fait, tout ton boulot va consister à trouver le repère dans lequel les 5-6 points ont du sens pour une conique. La nature de la conique ne peut-elle pas être donnée par l'utilisateur?

Malheureusement non, car elle n'a pas d'importance pour lui, seul le fait que ce soit une conique compte. Pour entrer dans les détails, après le côté GeoGebra, une fois que j'ai des figures, je tente d'appliquer des théorèmes entrés par l'user. Certains d'entre eux pourront utiliser les hexamys de Pascal, d'où les coniques. Et à côté de ça, j'affiche le tout.

**prgasp77** · 13/05/2013, 07h30

Bonjour.

Généralement, quand on travaille avec des coniques, on surveille de près leur excentricité. À zéro, on a un cercle ; entre zéro et un une ellipse ; à un, une parabole ; au dessus de un, une hyperbole, et à l'infini une droite.

S'il est question de tracer cette conique, il est préférable de la mettre sous une forme paramétrée $\vec{M(t)}\,=\,{}^T\left(x(t)\,;\,y(t)\right)$ , calculer $v(t)\,=\,\sqrt{\dot x^2\,+\,\dot y^2}$ , et tracer des points en faisant des sauts de $\Delta t$ inversement proportionnels à v(t).

Bon courage.

**Alfrodull** · 15/05/2013, 14h53

Bonjour !

Le truc, c'est que mes seules entrées sont des points de la conique. De là, je peux donc avoir mon équation générale. Pour déterminer le type de la conique, je suis donc passé par là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique...e_discriminant en partant du principe que c'était fiable ^^

Pour les équations paramétriques, y'a rien à faire... J'ai beau chercher, je ne trouve pas comment passer de ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 à une équation paramétrique... En passant par un foyer et une directrice, oui, mais dans mon cas, j'en ai pas... Ces fichues coniques vont me tuer

**Flodelarab** · 15/05/2013, 23h46

Le lien que tu cites est bon. Sauf qu'il parle d'équation réduite sans dire comment faire.

Effectivement, les termes en x et y ne sont pas un problème car ils sont le résidu d'un dévelopement de (x + k)² = x² + 2kx + k² où k est une constante. On peut toujours faire rentrer le x dans le carré et simplifier en considérant un changement de repère par translation.

Mais avant d'arriver là, il faut se débarasser du terme en xy ! Celui-là est le résultat d'une rotation.
Ce lien me paraît assait bon pour faire disparitre xy. (il faut lire juste en dessous des 3 cas)

**prgasp77** · 16/05/2013, 01h34

J'ai fini par trouver. Mais c'est violent !

Voici comment procéder. On part de l'équation générale suivante :
$Ax^2+Bxy +Cy^2+Dx+Ey+F=0$

Étape 1, déterminer
$\eta\,=\,signe \det \left[\begin{array}{ccc} A & B/2 & D/2 \\ B/2 & C & E/2 \\ D/2 & E/2 & F \end{array}\right]$

Étape 2, déterminer
$e\,=\,\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta(A+C)+\sqrt{(A-C)^2+B^2}}}$

Étape 3, utiliser l'algorithme fourni par l'auteur de la page donnée plus haut. Attention, il utilise une notation légèrement différente de nous. À cette étape, on se retrouve avec une équation d'une des formes suivantes (voir ce tableau).

Étape 4, en déduire le semi-latus rectum $\ell$ (voir le même tableau).

Étape 5, utiliser l'équation suivante pour obtenir une équation paramétrique de la courbe.
$\rho=\frac\ell{1+e\cos\theta}\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll}x(\theta) &= \rho\cos\theta \\ y(\theta) &= \rho\sin\theta\end{array}\right.$

Étape 6, calculer la dérivée de l'abscisse curviligne (ou vitesse) de la conique en tout point :
$s'(\theta)\,=\,\sqrt{x'^2(\theta)+y'^2(\theta)}$

Étape 7, tracer (enfin !) la courbe en prenant :
$\left\{\begin{array}{ll}\theta_0 &= 0\\ \theta_{n+1} &= \theta_n + \frac{\delta}{s'(\theta_n)}\end{array}\right.$
avec $\delta$ à déterminer selon le besoin (c'est le pas).

Tracer les points $\left(x(\Theta),\,y(\Theta)\right),\ \ \Theta=\{\pm\theta_n,\, n\in{\mathbb N}\}$ .

**Alfrodull** · 16/05/2013, 07h54

Hé bah... Merci à tout les deux ! Je pense que je vais enfin pouvoir m'en sortir avec ça ( du moins, j'espère xD ) !

Je vais voir si je m'en sors et je vous tiens au courant. Encore un grand merci !

**pseudocode** · 16/05/2013, 14h31

Envoyé par Alfrodull

J'ai bien la solution de parcourir mon espace de dessin point par point et de vérifier si le point résout l'équation, mais niveau vitesse, c'est vraiment pas la joie...

Tu peux utiliser une grille adaptative pour déterminer les zero-crossing d'une fonction implicite f(x,y)=0.

Dans ton cas particulier, ce n'est pas aussi "propre" que de passer par les équation réduites + transformations (rotation/translation), mais ca accélère énormément l'affichage. Et ca fonctionne pour la plupart les fonctions implicites.

Dessiner une conique

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