1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236
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\documentclass[a4paper,12pt,openright]{report}
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\newcommand{\nb}[1]{\numprint{#1}}
\newcommand\rep[1]{%
\paragraph{Réponses}~\\
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#1%
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\vspace{5pt}%
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}%Rotatebox
}%fbox
}
\begin{document}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il d'anagrammes du mot \textsc{chien}?
\item Combien y a-t-il d'anagrammes du mot \textsc{missisipi}?
\end{enumerate}
\item On doit ranger 5 livres de maths, 4 de physique et 3 de chimie. De combien de manières peut-on le faire,
\begin{enumerate}
\item si les livres de chaque spécialité doivent être groupés;
\item si on veut que les livres de maths soient groupés;
\item si on ne se préoccupe pas de grouper les livres par spécialité.
\end{enumerate}
\item Calculer le 7\up{ème} terme du développement de $\displaystyle \left(3x-\frac{2}{x}\right)^{11}$
\item Calculer le terme en
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^6$ dans $\left(3x^2-2\right)^{10}$
\item $u$ dans $\left(2u^2-\frac{4}{u}\right)^{5}$
\item $x^{16}$ dans $x^{10}\cdot(x+7)^8$
\item $t^3$ dans $\left(3t+\frac{1}{t^2}\right)^{12}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Calculer : \[\begin{aligned}(0,34)^5+5\cdot(0,34)^4\cdot(0,66) & +10\cdot(0,34)^3\cdot(0,66)^2
\\& + 10\cdot(0,34)^2\cdot(0,66)^3+5\cdot(0,34)\cdot(0,66)^4+(0,66)\end{aligned}\]
\end{enumerate}
\rep{
\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1em}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $70!$
\item $C_{72}^3$ \quad ou \quad $24\cdot 71\cdot 35$
\item $91$
\item $(n+1)!$
\item $(n-4)!$
\item $n$
\item $\frac{n}{n+2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}
\item $\alpha_9^5 = 59049 $
\item $A_9^5 = 15120$
\item $C_7^4 = 35$
\item $A_5^3 = 60$
\item $\alpha_5^3 = 125$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\alpha_9^4 = 6561 $
\item $A_5^3 = 60$
\item $P_5 = 120$
\item $P_4 = 24$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\alpha_{10}^3\cdot\alpha_{26}^3 = $\nb{17576000}
\item $\alpha_{26}^2\cdot\alpha_{10}^2 = $\nb{67600}
\item $\alpha_{10}^3\cdot A_{26}^3 = $\nb{15600000}
\item $A_{10}^3\cdot A_{26}^3 = $\nb{112320}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $4\cdot 4\cdot 4 = 64$
\item $C_{16}^3 = 560$
\item $8\cdot 8\cdot 8 = 512$
\item $C_8^3 \cdot 4 = 224$
\item $C_4^1\cdot C_4^2 = 24$
\item $4\cdot(C_8^2\cdot 24)= 2688$
\item $C_{16}^3\cdot 2 = 1120$
\item $C_{16}^2\cdot 16 = 1280$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item $C_{42}^6 = \nb{5245786}$
\end{enumerate}
}%Fin réponse
\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%% DEBUT PROBLEME
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il d'anagrammes du mot \textsc{chien}?
\item Combien y a-t-il d'anagrammes du mot \textsc{missisipi}?
\end{enumerate}
\item On doit ranger 5 livres de maths, 4 de physique et 3 de chimie. De combien de manières peut-on le faire,
\begin{enumerate}
\item si les livres de chaque spécialité doivent être groupés;
\item si on veut que les livres de maths soient groupés;
\item si on ne se préoccupe pas de grouper les livres par spécialité.
\end{enumerate}
\item De combien de manières peut-on choisir 3 délégués parmi 4 belges, 5 français et 6 anglais,
\begin{enumerate}
\item s'ils doivent être de nationalités différentes?
\item si on veut au moins 2 nationalités différentes dans la délégation?
\item s'il n'y a que des belges dans la délégation?
\item si on souhaite que les 3 délégués soient de la même nationalité ?
\item si on ne veut pas de français dans la délégation?
\item si on ne met pas de condition sur les délégués ?
\end{enumerate}
\item Refaire l'exercice précédent si on choisit un président, un secrétaire et un trésorier.
\item Démontrer :
\begin{enumerate}
\item si $n$ et $p$ sont premiers entr'eux alors $n$ divise $C_n^p$;
\item $\forall n,p\in\mathbb{N} : \displaystyle C_{n+1}^p=C_n^p+C_{n-1}^{p-1}+C_{n-2}^{p-2}+\cdots+C_{n-p+1}^{1}+C_{n-p}^0$
\item $\forall n,p\in\mathbb{N} : \displaystyle C_n^p = C_{n-2}^p+2C_{n-2}^{p-1}+C_{n-2}^{p-2}$
\item $\forall n,p\in\mathbb{N} : \displaystyle C_n^p = \frac{n}{p}C_{n-1}^{p-1}$
\item $\forall n\in\mathbb{N} : \displaystyle \frac{C_n^1}{C_n^0}+\frac{2C_n^2}{C_n^1}+\frac{3C_n^3}{C_n^2}+\cdots+\frac{nC_n^n}{C_n^{n-1}}=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$
\end{enumerate}
\item Calculer $n$ sachant que $C_{2n}^1+C_{2n}^2+C_{2n}^3-387n=0$
\item Développer, en utilisant le binôme de Newton :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle (a+b)^7$
\item $\displaystyle (2x+3y)^4$
\item $\displaystyle (a-2b)^5$
\item $\displaystyle \left(x^2+\frac{1}{x}\right)^3$
\item $\displaystyle \left(x^3\sqrt{2}-\frac{1}{x\sqrt{2}}\right)^4$
\item $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{x}-\frac{x^2}{2}\right)^6$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Calculer le 7\up{ème} terme du développement de $\displaystyle \left(3x-\frac{2}{x}\right)^{11}$
\item Calculer le terme en
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^6$ dans $\left(3x^2-2\right)^{10}$
\item $u$ dans $\left(2u^2-\frac{4}{u}\right)^{5}$
\item $x^{16}$ dans $x^{10}\cdot(x+7)^8$
\item $t^3$ dans $\left(3t+\frac{1}{t^2}\right)^{12}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Calculer : \[\begin{aligned}(0,34)^5+5\cdot(0,34)^4\cdot(0,66) & +10\cdot(0,34)^3\cdot(0,66)^2
\\& + 10\cdot(0,34)^2\cdot(0,66)^3+5\cdot(0,34)\cdot(0,66)^4+(0,66)\end{aligned}\]
\end{enumerate}
\rep{
\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1em}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $70!$
\item $C_{72}^3$ \quad ou \quad $24\cdot 71\cdot 35$
\item $91$
\item $(n+1)!$
\item $(n-4)!$
\item $n$
\item $\frac{n}{n+2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}
\item $\alpha_9^5 = 59049 $
\item $A_9^5 = 15120$
\item $C_7^4 = 35$
\item $A_5^3 = 60$
\item $\alpha_5^3 = 125$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\alpha_9^4 = 6561 $
\item $A_5^3 = 60$
\item $P_5 = 120$
\item $P_4 = 24$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\alpha_{10}^3\cdot\alpha_{26}^3 = $\nb{17576000}
\item $\alpha_{26}^2\cdot\alpha_{10}^2 = $\nb{67600}
\item $\alpha_{10}^3\cdot A_{26}^3 = $\nb{15600000}
\item $A_{10}^3\cdot A_{26}^3 = $\nb{112320}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $4\cdot 4\cdot 4 = 64$
\item $C_{16}^3 = 560$
\item $8\cdot 8\cdot 8 = 512$
\item $C_8^3 \cdot 4 = 224$
\item $C_4^1\cdot C_4^2 = 24$
\item $4\cdot(C_8^2\cdot 24)= 2688$
\item $C_{16}^3\cdot 2 = 1120$
\item $C_{16}^2\cdot 16 = 1280$
\end{enumerate}
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\item $C_{42}^6 = \nb{5245786}$
\end{enumerate}
}%Fin réponse
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