Une moyenne pondérée un peu spéciale.

**Onimaru** · 21/08/2010, 14h52

Salut à tous, voici une formulation du problème supprimé :

Soit n dans N.
Soit A une partie de N avec : min(A) = 0, max(A) = n-1, card(A) = n.
Soit X un vecteur de R^n (R x R x R x ... n fois).
Soit W une application de R^n dans R^n. (ce qu'on cherche).
Soit T une application de R^n dans R^n définie par T(X) = X après permutation de ses composantes.
Soit x une application de (R^n)^2 dans A qui vérifie : x(X, W(X)) = Somme_Composantes(X . W) / Somme_Composantes(W).

On demande de trouver une méthode de générer W (qui dépend directement de X) d'une façon à vérifier :

x(X, W(X)) =/= x(T(X), W(T(X))) <==> X =/= T(X).

Merci.

**Nemerle** · 23/08/2010, 10h59

Notons s: s.X l'action à gauche des permutations sur R^n.
Notons w1...wn les poids ideaux recherchés
Soit w: R^N->R l'application w(V)=somme des wi*vi (je prends somme des wi=1 pour simplifier).
Soit X=(X1...Xn) ton vecteur.

Rq1: tous les Xi doivent être différents, car sinon, en notant t=T(i,j) la permutation switchant i et j, on a w(t.X)=w(X) et c'est ko.

Rq2: de même tous les poids doivent être différents, car en reprenant t=T(i,j), l'obligation w(t.X)<>w(X) équivaut à wivj+wjvi<>wivi+wjvj, soit wi<>wj.

Rq3: identifions les permutations {s} avec un sous-ensemble P de R^n par s->(s.X-X). Ainsi P est un ensemble de n! points de R^n ne contenant pas le vecteur nul O. Ce qu'on veut, c'est que le noyau Ker(w) ne s'intersecte pas avec P...

**Zavonen** · 23/08/2010, 18h12

L'énoncé a cette fois ci un peu plus de sens. Il y a encore beaucoup à dire sur la formulation, mais en faisant un effort on peut comprendre.

Je vais montrer qu'il n'y a la plupart du temps pas de solution.
Si au lieu de chercher Wn on cherche le vecteur 'normalisé' obtenu en divisant toutes les coordonnées de Wn par la somme W0+ ..+Wn nous cherchons en fait un vecteur de la sphère unité (pour la norme euclidienne. Tel que
W.X appartient à A={0,1, ..,n-1} et vérifie
W.T(X) !=W.X si T(X) !=X
Notons que ma notation pointée est ici le bon vieux produit scalaire de R^n.
Supposons maintenant que le vecteur X vérifie
||X|| <1 c'est à dire que X appartient à la boule unité ouverte de rayon 1 de R^n.
Si W est sur la sphère unité d'après l'inégalité de Schwarz on a toujours:
|X.W|<1.
de sorte que X.W appartient à A équivaut à X.V=0
Par ailleurs si X est dans la boule de rayon 1 il en est de même de T(X) pour toute permutation T puisque la norme euclidienne est invariante par permutation des coordonnées.
On a donc (toujours dans l'hypothèse X.W dans A forcément X.V=0.
Prenons donc un vecteur de norme < 1 et ayant toutes ses coordonnées distinctes. On a toujours dans les hypothèses de l'énoncé W.T(X)=0 et T(X) est toujours différent de X et cela pour tous les vecteurs W de la sphère unité. Le problème n'a donc pas de solution.
Edit: Erreur, voir correctif plus loin !

**Onimaru** · 23/08/2010, 18h34

Envoyé par Zavonen

L'énoncé a cette fois ci un peu plus de sens. Il y a encore beaucoup à dire sur la formulation, mais en faisant un effort on peut comprendre.

Je vais montrer qu'il n'y a la plupart du temps pas de solution.
Si au lieu de chercher Wn on cherche le vecteur 'normalisé' obtenu en divisant toutes les coordonnées de Wn par la somme W0+ ..+Wn nous cherchons en fait un vecteur de la sphère unité (pour la norme euclidienne. Tel que
W.X appartient à A={0,1, ..,n-1} et vérifie
W.T(X) !=W.X si T(X) !=X
Notons que ma notation pointée est ici le bon vieux produit scalaire de R^n.
Supposons maintenant que le vecteur X vérifie
||X|| <1 c'est à dire que X appartient à la boule unité ouverte de rayon 1 de R^n.
Si W est sur la sphère unité d'après l'inégalité de Schwarz on a toujours:
|X.W|<1.
de sorte que X.W appartient à A équivaut à X.V=0
Par ailleurs si X est dans la sphère de rayon il en est de même de T(X) pour toute permutation T puisque la norme euclidienne est invariante par permutation des coordonnées.
On a donc (toujours dans l'hypothèse X.W dans A forcément X.V=0.
Prenons donc un vecteur de norme < 1 et ayant toutes ses coordonnées distinctes. On a toujours dans les hypothèses de l'énoncé W.T(X)=0 et T(X) est toujours différent de X et cela pour tous les vecteurs W de la sphère unité. Le problème n'a donc pas de solution.

Merci,
Je n'ai pas bien compris cette démonstration, pouvez vous me dire exactement où est le problème?
Merci encore.

**Onimaru** · 23/08/2010, 18h38

Je vais changer le problème :

Soit n dans N.
Soit A une partie de N avec A = {0,1, ..,n-1}.
Soit X un vecteur de R^n (R x R x R x ... n fois).
Soit W une application de R^n dans R^n. (ce qu'on cherche).
Soit T une application de R^n dans R^n définie par T(X) = X après permutation de ses composantes.
Soit x une application de (R^n)^2 dans R qui vérifie : x(X, W(X)) = Somme_Composantes(X . W) / Somme_Composantes(W).

On demande de trouver une méthode de générer W (qui dépend directement de X) d'une façon à vérifier :

x(X, W(X)) =/= x(T(X), W(T(X))) <==> X =/= T(X).

**Onimaru** · 23/08/2010, 18h54

Pour mieux comprendre je re-reformule :

1) Soit n dans N.
2) Soit X un vecteur de R^n (R x R x R x ... n fois).
3) Soit E(X) une partie de R^n qui contient tous les vecteurs possibles issus
de la permutation des composantes de X.
4) Soit W une application de E(X) dans R^n. (ce qu'on cherche).
5) Soit x une application de E(X) x R^n dans R qui vérifie :
x(X', W(X')) = Somme_Composantes(X' . W) / Somme_Composantes(W).
6) Soit M partie de R l'image de E(X) x R^n par x.

On demande de trouver une méthode de générer W (qui dépend directement de X' dans E(X)) d'une façon à ce que l'application x soit bijective.

Invité · 23/08/2010, 19h24

Ne serait-il pas plus simple, pour que je comprenne moi aussi, de nous dire dans quel type d'application se situe ce problème?
Apparemment, il n'y a pas de solution, vous pensez que si.
Peut-être que si on savait de quoi il s'agit, on pourrait comprendre pourquoi vous êtes sûr qu'il y a une solution. A moins que ce soit un problème purement théorique, auquel cas, ça m'étonnerait que Zavonen se soit trompé.

**Onimaru** · 23/08/2010, 19h27

Envoyé par Pierre Dolez

Ne serait-il pas plus simple, pour que je comprenne moi aussi, de nous dire dans quel type d'application se situe ce problème?
Apparemment, il n'y a pas de solution, vous pensez que si.
Peut-être que si on savait de quoi il s'agit, on pourrait comprendre pourquoi vous êtes sûr qu'il y a une solution. A moins que ce soit un problème purement théorique, auquel cas, ça m'étonnerait que Zavonen se soit trompé.

Salut,
C'est un peu tôt pour décider si ce problème est admet une solution ou non.

**Onimaru** · 23/08/2010, 19h29

Voici le problème :

1) Soit n dans N.
2) Soit X un vecteur de R^n (R x R x R x ... n fois).
3) Soit E(X) une partie de R^n qui contient tous les vecteurs possibles issus
de la permutation des composantes de X.
4) Soit W une application de E(X) dans R^n. (ce qu'on cherche).
5) Soit . une application de (R^n)^2 dans R^n définie par :
X(X0, ..., Xn) . Y(Y0, ..., Yn) = (X0Y0, ..., XnYn).
6) Soit x une application de E(X) x R^n dans R qui vérifie :
x(X', W(X')) = Somme_Composantes(X' . W(X')) / Somme_Composantes(W(X')).
7) Soit M partie de R l'image de E(X) x R^n par x.

On demande de trouver une méthode de générer W (qui dépend directement de X' dans E(X)) d'une façon à ce que l'application x soit bijective.

**Zavonen** · 23/08/2010, 19h46

Il y a une erreur dans mon raisonnement.

Si au lieu de chercher Wn on cherche le vecteur 'normalisé' obtenu en divisant toutes les coordonnées de Wn par la somme W0+ ..+Wn nous cherchons en fait un vecteur de la sphère unité (pour la norme euclidienne.

W n'est pas normalisé pour la norme euclidienne. Simplement la somme de ses coordonnées vaut 1. Ce qui donne non pas la surface d'une sphère mais un hyperplan affine.
Autant pour moi, ce raisonnement n'est donc pas valable.

**Onimaru** · 23/08/2010, 19h51

Envoyé par Zavonen

Il y a une erreur dans mon raisonnement.

W n'est pas normalisé pour la norme euclidienne. Simplement la somme de ses coordonnées vaut 1. Ce qui donne non pas la surface d'une sphère mais un hyperplan affine.
Autant pour moi, ce raisonnement n'est donc pas valable.

Merci,
Maintenant le problème est un peu changé, je l'ai posté, que pensez vous?

**Zavonen** · 23/08/2010, 20h01

Pour n=1 le théorème est vrai avec W0=0
Il n'existe aucune permutation T des cordonnées de X pour laquelle T(X)!=X
pour n=2 le théorème est également vrai.
Posons en effet Y le symétrique de X par rapport à la première diagonale.
On peut prendre pour vecteur W un vecteur orthogonal à X et vérifiant W.Y=1. C'est possible si Y!=X
Pour n=3 les choses se compliquent car si X est tel que ses 3 composantes X0, X1 et X2 sont toutes différentes alors les vecteurs T(X) où T parcourt l'ensemble des permutations de {0,1,2} sont 6 vecteurs différents. Il est donc illusoire de chercher W tel que W.T(X) dans {0;1;2} et W.T1(X) !=W.T2(X) si T1!=T2 puisqu'on n'a que 3 valeurs possibles pour 6 vecteurs distincts.
Donc de mon point de vue pour n>=2 ce problème n'a pas de solutions.

**Onimaru** · 23/08/2010, 20h13

Envoyé par Zavonen

Pour n=1 le théorème est vrai avec W0=0
Il n'existe aucune permutation T des cordonnées de X pour laquelle T(X)!=X
pour n=2 le théorème est également vrai.
Posons en effet Y le symétrique de X par rapport à la première diagonale.
On peut prendre pour vecteur W un vecteur orthogonal à X et vérifiant W.Y=1. C'est possible si Y!=X

Merci, voulez vous dire par là qu'il y a une solution possible, pouvez vous vous m'en dire plus?

**Zavonen** · 23/08/2010, 21h06

Merci, voulez vous dire par là qu'il y a une solution possible,

Non, si n=1 et X=0 tout W est solution.

**Onimaru** · 24/08/2010, 01h26

Envoyé par Zavonen

Non, si n=1 et X=0 tout W est solution.

Salut, mais c'est évident ça un seul élément même si X =/= 0 on trouve une solution, je croyais que vous parlez d'une manière générale

**Onimaru** · 24/08/2010, 01h29

Envoyé par Zavonen

Non, si n=1 et X=0 tout W est solution.

J'ai changé l'énoncé maintenant, je crois que vous parlez de l'ancien énoncé.
En ce qui concerne l'autre on va y arriver avec le temps.
Merci.

1) Soit n dans N.
2) Soit X un vecteur de R^n (R x R x R x ... n fois).
3) Soit E(X) une partie de R^n qui contient tous les vecteurs possibles issus
de la permutation des composantes de X.
4) Soit W une application de E(X) dans R^n. (ce qu'on cherche).
5) Soit . une application de (R^n)^2 dans R^n définie par :
X(X0, ..., Xn) . Y(Y0, ..., Yn) = (X0Y0, ..., XnYn).
6) Soit x une application de E(X) x R^n dans R qui vérifie :
x(X', W(X')) = Somme_Composantes(X' . W(X')) / Somme_Composantes(W(X')).
7) Soit M partie de R l'image de E(X) x R^n par x.

On demande de trouver une méthode de générer W (qui dépend directement de X' dans E(X)) d'une façon à ce que l'application x soit bijective.

**Onimaru** · 24/08/2010, 01h30

Envoyé par Zavonen

Non, si n=1 et X=0 tout W est solution.

J'essaye de décomposer le problème maintenant.

**Zavonen** · 24/08/2010, 02h32

Cette fois les barycentres ne sont plus dans A ???
Je n'ai pas l'habitude de résoudre des problèmes dont les données changent toutes les 5 minutes.
Au revoir et bonne chance.

**Onimaru** · 24/08/2010, 02h44

Envoyé par Zavonen

Cette fois les barycentres ne sont plus dans A ???
Je n'ai pas l'habitude de résoudre des problèmes dont les données changent toutes les 5 minutes.
Au revoir et bonne chance.

Il faut s'habituer alors, merci de ton aide.