Discussion :

[chonos]

Bonjour,

la continuité géométrique d'une spline est définie par :

Une courbe P(t) est continue géométriquement de classe G1 sur l'intervalle [a, b]
si la dérivée d'ordre 1 de P est définie
et il existe k > 0 tel que P'(c--) = k.P'(c++) sur cet intervalle.
Une courbe P(t) est continue géométriquement de classe G2 sur l'intervalle [a, b]
si les dérivées d'ordre 1 et 2 de P sont définies
et il existe k > 0 et k' > 0 tels que P'(c--) = k.P'(c++) et P''(c--) = k'.P''(c++) sur cet intervalle.

Ces formules sont joiles, mais je ne les comprends pas alors si quelqu'un pourrait m'aider. Merci

[j.p.mignot]

Fonction P est de classe Cn ( pas Gn) sur [a,b] signifie que toutes les dérivées P d'ordre <= à n existent sur cet intervalle.

Classe Gn signifie de classe Cn et que de plus, le signe de les dérivées de P d'ordre 1,2,..,n reste de constant sur cet intervalle ( mais pas necessairement de même d'un ordre à l'autre c.a.d que P' pourrait être toujours >0 et P'' toujours <0 par exemple )
Ici c++ et c-- signifient respectivement c+epsilon et c-epsilon ( ce qui est d'ailleurs légèremenrt abusif si l'intervalle n'est pas ouvert(]a,b[). car alors sur au moins 1 borne c-- ou c++ est hors intervalle.
L'écriture est aussi abusive car autant que je sache, k,k',... sont >0 mais ne sont pas des constantes et dépendent du point dans l'intervalle.



voir
http://www.limsi.fr/Individu/jacquemi/DESS-IG-01-TR/total.html

[Le Furet]

Fonction P est de classe Cn ( pas Gn) sur [a,b] signifie que toutes les dérivées P d'ordre <= à n existent sur cet intervalle.

Attention, ça c'est "de classe Dn" (ou Delta^n). De classe Cn signifie que de plus, les dérivées sont continues (enfin, surtout que la n_ième dérivée est continue, pour les précédentes c'est évident : Dn=>Cn-1)

Je ne connaissais pas l'expression "de classe Gn", mais je suppose que du coup, ça signifie : de classe Dn, plus une condition que je vais préciser. D'abord, sauf erreur, P(t) = (x(t), y(t)) est un point décrivant une courbe C. Sa dérivée est un vecteur, tangent à la courbe C :

P'(t) = (x'(t), y'(t))

Comme P est définie par morceaux (si je me rappelle bien, une fonction spline est une fonction polynômiale par morceaux), il n'y a pas de raisons qu'aux points de raccords, la dérivée existe.

Si c est un point de raccord, on a alors une dérivée "à gauche" :
P'(c-)=lim_{t->c, t<c} P'(t)
et une dérivée "à droite" :
P'(c+)=lim_{t->c, t>c} P'(t)

(ce ne sont que des notations, maladroites qui plus est)

Chacun de ces vecteurs donne une "demi-tangente" à C en P(c).
Si ces deux vecteurs sont colinéaires(càd qu'il existe k tel que P'(c-)=kP'(c+)), ces deux demi-tangentes sont confondues, mais s'ils sont de signe opposés, on a un point de rebroussement (la courbe arrive en P(c) tangentiellement et repart dans le sens contraire toujours tangentiellement).

C'est pourquoi on impose en plus que ces deux vecteurs soient de même sens (càd que le coefficient k est positif).

Je reprendrais donc la définition de G1 :
Une courbe P(t) est continue géométriquement de classe G1 sur l'intervalle [a, b] si, pour tout c dans ]a;b[, les demi-dérivées P'(c-)=lim_{t->c, t<c} P'(t) et P'(c+)=lim_{t->c, t>c} P'(t) existent, et s'il existe k>0 tel que P'(c-) = k.P'(c+).


Remarque : dans le site cité par j.p.mignot, la condition k>0 n'apparaît pas, càd qu'on considère une courbe présentant un point de rebroussement comme G1...

[j.p.mignot]

enfin, surtout que la n_ième dérivée est continue, pour les précédentes c'est évident

merci de ce rappel j'avais totalement oublié de rappeler que la continité n'etait pas implicite pour la derivée d'ordre n!