Discussion :

[Jerome Briot]

suite de mon approche du monde des fractales. Aujourd'hui : le Chaos Game (j'espère ne pas dire trop de bêtise )

Le code permettant de générer les formes :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function [x,y,c] = chaosgame(form,N)
%CHAOSGAME
%
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 03 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
error(nargchk(1,2,nargin));
 
if nargin == 1
    N = 75000;
end
 
m = min(form.polyg,[],2);
M = max(form.polyg,[],2);
 
[x,y] = meshgrid(linspace(m(1),M(1),10),linspace(m(2),M(2),10));
 
in = inpolygon(x(:),y(:),form.polyg(1,:),form.polyg(2,:));
idxi = find(in(:));
idx = randperm(numel(idxi));
idxi = idxi(idx(1));
 
xs = x(idxi(1));
ys = y(idxi(1));
 
sp = size(form.polyg,2);
 
idx = randperm(sp);
 
x = zeros(1,N);
y = zeros(1,N);
c = zeros(1,N);
 
if form.keeppolyg
    x(1:sp) = form.polyg(1,:);
    y(1:sp) = form.polyg(2,:);
    c(1:sp) = 1:sp;
    k = sp+1;
else
    k = 1;  
end
 
x(k) = form.frac*form.polyg(1,idx(1))+(1-form.frac)*xs;
y(k) = form.frac*form.polyg(2,idx(1))+(1-form.frac)*ys;
c(k) = idx(1);
 
for n=k+1:N
    idx = randperm(sp);
    x(n) = form.frac*form.polyg(1,idx(1))+(1-form.frac)*x(n-1);
    y(n) = form.frac*form.polyg(2,idx(1))+(1-form.frac)*y(n-1);
    c(n) = idx(1);
end

Où form est une structure avec les champs suivant

• form.name
• form.polyg
• form.frac
• form.keeppolyg

En prenant l'exemple du Triangle de Sierpinski (voir le paragraphe qui commence par "Or more simply:"), la structure form est :

• form.name = 'Sierpinski triangle';
• form.polyg = [0 1 .5 ; 0 0 sqrt(2)/2];
• form.frac = .5;
• form.keeppolyg = true;

Le champs keeppolyg sert juste à spécifier si les points du polygone de départ doivent être conservés ou non pour le tracé final.

N est bien entendu le nombre d'itération donc le nombre de points au final sur le tracé.

Pour tracer le résultat :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function h = drawchaosgame(x,y,c)
%DRAWCHAOSGAME
%
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 03 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
error(nargchk(2,3,nargin));
 
figure('color','w')
 
if nargin == 3
 
    mc = max(c);
 
    hold on
    cmap = hsv(mc);
    cmap = cmap(randperm(mc),:);
 
    for n = 1:mc
        idx = c==n;
        h(n) = plot(x(idx),y(idx),'k.');
        set(h(n),'color',cmap(n,:));
    end
 
else
    h = plot(x,y,'k.');
end
axis equal off

Quelques formes prédéfinies :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function form = selectchaosgameform(n)
%SELECTCHAOSGAMEFORM
%
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 03 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
error(nargchk(1,1,nargin));
 
fa = {'Sierpinski carpet'
    'Sierpinski triangle'
    'Sierpinski Hexagon'
    'Sierpinski Pentagon'
    'Sierpinski Pentagon 2'
    'Square'
    'Square 2'};
 
fo = fa{n};
 
switch fo
 
    case 'Sierpinski carpet'
 
        form.name = 'Sierpinski carpet';
        form.polyg = [0 .5 1 1 1 .5 0 0 ; 0 0 0 .5 1 1 1 .5];
        form.frac = 2/3;
        form.keeppolyg = false;
 
    case 'Sierpinski triangle'
 
        form.name = 'Sierpinski triangle';
        form.polyg = [0 1 .5 ; 0 0 sqrt(2)/2];
        form.frac = .5;
        form.keeppolyg = true;
 
    case 'Sierpinski Hexagon'
        form.name = 'Sierpinski Hexagon';
        t = linspace(0,2*pi,7);
        form.polyg = [sin(t(2:end)); cos(t(2:end))];
        form.frac = 2/3;
        form.keeppolyg = false;
 
    case 'Sierpinski Pentagon'
        form.name = 'Sierpinski Pentagon';
        t = linspace(0,2*pi,6);
        form.polyg = [sin(t(2:end)); cos(t(2:end))];
        form.frac = 2/3;
        form.keeppolyg = false;
 
    case 'Sierpinski Pentagon 2'
        form.name = 'Sierpinski Pentagon 2';
        t = linspace(0,2*pi,6);
        form.polyg = [sin(t(2:end)); cos(t(2:end))];
        form.frac = 5/8;
        form.keeppolyg = false;
 
    case 'Square'
        form.name = 'Square';
        form.polyg = [.5 1 .5 0 ; 0 .5 1 .5]*sqrt(2);
        form.frac = 3/4;
        form.keeppolyg = true;
 
    case 'Square 2'
        form.name = 'Square 2';
        form.polyg = [.5 1 .5 0 ; 0 .5 1 .5]*sqrt(2);
        form.frac = 3/5;
        form.keeppolyg = true;
 
end

et le fichier démo :

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function demochaosgame
%DEMOCHAOSGAME
%
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 03 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
form = selectchaosgameform(2);
 
N = 100000;
 
[x,y,c] = chaosgame(form,N);
 
drawchaosgame(x,y,c);
title(sprintf('%s (%d iterations',form.name,N))

Voila... si vous avez des remarques, des questions ou des suggestions, n'hésitez pas

Mais rappelez-vous que je ne suis pas un spécialiste dans ce domaine

Note : Ne sachant pas si ces codes sont justes, je ne les ai pas optimisés (et donc pas commentés)

[Jerome Briot]

Quelques images...

[Jerome Briot]

Sources

• wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_game, http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle
• Chaos, Fractals, and Arcadia
• Wolfram Mathworld

A compléter...

[Jerome Briot]

Quelques formes en plus tiré du site Wolfram Mathworld

Fonction SELECTCHAOSGAMEFORM mise à jour dans le premier message

[Jerome Briot]

Voici la version 3D :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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function chaosgame3d(form,N)
%CHAOSGAME3D
%
%
 
% Author : Jerome Briot (Dut)
% Contact : dutmatlab#yahoo#fr -or- briot#cict#fr
% Profil : www.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/author/94805
%        : www.developpez.net/forums/u125006/dut/
%
% Version : 1.0 - 03 Sep 2009
%
 
% MATLAB : 7.6.0.324 (R2008a)
% System : Linux 2.6.24-24-generic
%
 
if nargin==0
 
    form.name = 'Sierpinski tetrahedron';
    form.polyg = [0 1 .5 .5 ; 0 0 sqrt(3)/2 sqrt(3)/6 ; 0 0 0 sqrt(2/3)];
    form.frac = .5;
    form.keeppolyg = true;
 
    N = 100000;
 
end
 
xs = .5+rand/10;
ys = .5+rand/10;
zs = .5+rand/10;
 
sp = size(form.polyg,2);
 
idx = randperm(sp);
 
 
x = zeros(1,N);
y = zeros(1,N);
z = zeros(1,N);
c = zeros(1,N);
 
if form.keeppolyg
    x(1:sp) = form.polyg(1,:);
    y(1:sp) = form.polyg(2,:);
    z(1:sp) = form.polyg(3,:);
    c(1:sp) = 1:sp;
    k = sp+1;
else
    k = 1;
end
 
x(k) = form.frac*form.polyg(1,idx(1))+(1-form.frac)*xs;
y(k) = form.frac*form.polyg(2,idx(1))+(1-form.frac)*ys;
z(k) = form.frac*form.polyg(3,idx(1))+(1-form.frac)*zs;
c(k) = idx(1);
 
for n=k+1:N
    idx = randperm(sp);
    x(n) = form.frac*form.polyg(1,idx(1))+(1-form.frac)*x(n-1);
    y(n) = form.frac*form.polyg(2,idx(1))+(1-form.frac)*y(n-1);
    z(n) = form.frac*form.polyg(3,idx(1))+(1-form.frac)*z(n-1);
    c(n) = idx(1);
end
 
figure('color','w')
 
mc = max(c);
 
hold on
cmap = hsv(mc);
cmap = cmap(randperm(mc),:);
 
for n = 1:mc
    idx = c==n;
    h(n) = plot3(x(idx),y(idx),z(idx),'k.');
    set(h(n),'color',cmap(n,:));
end
title(sprintf('%s (%d iterations)',form.name,N))
view(3);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
box on
grid on
axis equal on vis3d

Rien de bien compliqué a priori puisqu'il suffit juste d'ajouter une dimension supplémentaire au problème (aucun soucis, qui l'eut cru )