Discussion :

[ford_escort]

Bonjour,
j ai a vous soumettre une petite question concernant l utilisation des generateurs de nombres aleatoires.
Est ce que l un d entre vous connait un algorithme qui permet de tirer de facon aleatoire un point a la surface d une sphere.
Merci
Ford

[2Eurocents]

Bonjour,
j ai a vous soumettre une petite question concernant l utilisation des generateurs de nombres aleatoires.
Est ce que l un d entre vous connait un algorithme qui permet de tirer de facon aleatoire un point a la surface d une sphere.

Tout dépend de la qualité de l'aléa, ou plutôt de la répartition des points, demandée.

Il est possible de tirer aléatoirement une paire de coordonnées (azimut, élévation) ou (latitude, longitude), mais cela amène un risque de concentration des points dans les zones polaires.

Il est aussi possible de tirer les coordonnées de points sur une projection de la sphère, sur un plan, un cylindre ou un cône par exemple. Selon la projection retenue, on aura ou non une certaine homogénéïté de la répartition des points ...

Il y a encore d'autres possibilités et diverses combinaisons ...

Bon courage.

[ford_escort]

Ce qu il me fait c une distribution uniforme sur la sphere. C est a dire que tous les points aient la meme distribution de probabilite afin d eviter d avoir trop de point dans les zones polaires
ford

[FrancisSourd]

Un moyen simple (mais approché) est de tirer un point au hasard dans l'espace et de le projeter sur la sphère.

En pratique, on peut tirer les points dans un cube englobant la sphère mais les directions correspondant aux sommets du cube sont favorisées... Toutefois si le cube est nettement plus grand que la sphère l'approximation me semble bonne.

Sinon, il faut choisir la latitude de manière non uniforme, c'est à dire que la proba de la latitude est fonction de la longueur du parallèle associé.

[Jean-Marc.Bourguet]

En pratique, on peut tirer les points dans un cube englobant la sphère mais les directions correspondant aux sommets du cube sont favorisées... Toutefois si le cube est nettement plus grand que la sphère l'approximation me semble bonne.

Je ne vois pas en quoi les tailles relatives du cube et de la sphere vont changer quelque chose a la repartition. Si c'etait le cas, projeter sur une petite sphere puis sur la grande aurait un resultat different de projeter directement sur la grande, ce qui evidemment n'est pas le cas.

Je tirerais des points dans l'espace, eliminerais ceux qui ne sont pas dans la sphere puis rojeterais ceux qui restent sur la sphere.

[xxiemeciel]

Salut,

Pourquoi ne pas tirer aleatoirement une coordonnée spherique. de plus je suppose dans ton cas tu connais le rayon de ta sphere donc ca enleve une coordonnée, il ne reste plus qu'a tirer aleatoire Theta et Phi (les deux angles en coordonnées spheriques)

Puis ensuite tu peux facilement repasser en coordonnées cartesiennes si c'est ce que tu veux.

XXiemeciel

[Jean-Marc.Bourguet]

Pourquoi ne pas tirer aleatoirement une coordonnée spherique. de plus je suppose dans ton cas tu connais le rayon de ta sphere donc ca enleve une coordonnée, il ne reste plus qu'a tirer aleatoire Theta et Phi (les deux angles en coordonnées spheriques)

C'est la premiere proposition, mais c'est tres inhomogene comme repartition.

[xxiemeciel]

pourquoi est ce inhomogene ? Je ne voit pas tres bien ce qui peut causer ca.

XXiemeciel

[Jean-Marc.Bourguet]

pourquoi est ce inhomogene ? Je ne voit pas tres bien ce qui peut causer ca.

Regarde la densite de meridiens pres du pole par rapport a la densite de meridiens a l'equateur.

[xxiemeciel]

ok je crois que je comprend, il y a plus de plus de point pour la meme surface au niveau des poles

XXiemeciel

[random]

on peut considérer que si on coupe la sphère en 4 on va obtenir quatre surfaces identiques
on commence par en tirer une au sort
on choisit une grandeur de la précision désirée si on trace autant de cercles qu'il y a de parties fluentes égales à la grandeur de précision
on peut calculer une constante de la somme des cercles définis
on dispose alors de la totalité des possibilités on tire au somme parmi la somme de ces possibilités cela donne

ceci donne en vb

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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Function ssin(nbfrac As Long) As Double
Dim x As Long
Dim rep As Single
Dim rech As Single
For x = 0 To nbfrac
rep = rep + 1 - Sin(3.141592654 / 180 * x / nbfrac * 90)
Next x
Randomize
rep = Rnd() * rep
For x = 0 To nbfrac
rech = rech + 1 - Sin(3.141592654 / 180 * x / nbfrac * 90)
If rech > rep Then Exit For
Next x
ssin = x * 90 / nbfrac
End Function

c'est l'angle en degré par rapport au centre
il suffit de faire un tirage pour choisir le point sur son cercle

[Matthieu Brucher]

Un moyen simple (mais approché) est de tirer un point au hasard dans l'espace et de le projeter sur la sphère.

En pratique, on peut tirer les points dans un cube englobant la sphère mais les directions correspondant aux sommets du cube sont favorisées... Toutefois si le cube est nettement plus grand que la sphère l'approximation me semble bonne.

Sinon, il faut choisir la latitude de manière non uniforme, c'est à dire que la proba de la latitude est fonction de la longueur du parallèle associé.

Je suis assez d'accord avec cette méthode.
Autre solution pour les latitudes et longitudes, tirer la longitude et la latitude en degrés.

[Jean-Marc.Bourguet]

Autre solution pour les latitudes et longitudes, tirer la longitude et la latitude en degrés.

En quoi cela changera la non-equirepartition?

[j.p.mignot]

Pour éviter de favoriser les pôles ce qui est le cas dans ce qui a été décrit + haut je propose sans avoir vérifié d'approcher le problème comme suit:
1. 1er point alléatoire sur la sphère définie par x^2+y^2+z^2 = 1 ( ou R^2)

2. à partir du point Pn obtenir le point P(n+1) comme suit
- calculer A = random(pi)
- prendre le cône d'axe OPn et de 1/2 angle au sommet A. il coupe la shère suivant un cercle
- prendre une origine alléatoire (ou non ? )sur ce cercle et tourner d'1 angle alléatoire pour fixer P(n+1)


Ceci devrait revenir à un calcul alléatoire de Phi et Theta mais avec redéfinition (pseudo?) alléatoire de l'axe z à chaque itération du calcul.

[Jean-Marc.Bourguet]

Pour éviter de favoriser les pôles ce qui est le cas dans ce qui a été décrit + haut

Je ne vois pas en quoi tirer un point dans l'espace, recommencer tant qu'il est en dehors de la sphere ou que c'est son centre, et ensuite le projeter sur la sphere favorise les poles.

[FrancisSourd]

En pratique, on peut tirer les points dans un cube englobant la sphère mais les directions correspondant aux sommets du cube sont favorisées... Toutefois si le cube est nettement plus grand que la sphère l'approximation me semble bonne.

Je ne vois pas en quoi les tailles relatives du cube et de la sphere vont changer quelque chose a la repartition. Si c'etait le cas, projeter sur une petite sphere puis sur la grande aurait un resultat different de projeter directement sur la grande, ce qui evidemment n'est pas le cas.

Je tirerais des points dans l'espace, eliminerais ceux qui ne sont pas dans la sphere puis rojeterais ceux qui restent sur la sphere.

Effectivement, c'est ce qu'il faut faire!

[random]

soit s la surface
si je fais random()*s=x
je calcule une grandeur aléatoire dépendant de s
si x>s/2 je suis dans l'hémishére sud sinon dans l'hémisphère nord
au sud la calotte vaut s-x au nord (s/2) -x
connaissant la surface de la calotte je peux calculer sa hauteur qui me donne la latitude
pour la longitude pi*random fait l'affaire

[Matthieu Brucher]

Autre solution pour les latitudes et longitudes, tirer la longitude et la latitude en degrés.

En quoi cela changera la non-equirepartition?

Si on tire d'abord la longitude, on ne peut pas tirer la latitude uniformément, ça déséquilibre, comme on l'a tous dit. En fait, si on calcule la probabilité selon la surface, on aimerait se retrouver avec une valeur constante quelque soit la surface. Pour cela, si on paramétrise la sphère en degré pour la latitude et qu'on tire donc selon un arccosinus d'une variable aléatoire de densité de probabilité uniforme, on obtiendra ce qu'on veut, non ?

[2Eurocents]

Si l'on veut vraiment se donner du mal, il me vient à l'esprit une méthode que l'on pourrait appeler "la méthode de la balle de golf".

On plaque un maillage homogène sur la sphère (par triangulation, par exemple).

Il suffit ensuite de tirer une maille au hasard et de placer le point en son centre.

La précision souhaitée est réglable avec le nombre de mailles plaquées sur la sphère.

L'analogie avec la balle de golf vient du maillage quasi-homogène de 384 alvéoles qui recouvre celles-ci et améliore leurs performances de vol.

[random]

on ne peut pas tirer la latitude en degré sans modifier l'égalité
ce serait dire que la surface au pole est égale à celle à l'équateur
pour une même différence de latitude si on procéde pour la terre en assimilant la surface à un rectangle on aura pour 1 de largeur au pole
un carré d'environ 2pi() de surface
à l'équateur on autait 40000 m2