Défi N°6 : Les palindromes

[millie]

Bonjour,

Pour ce sixième défi proposé par SpiceGuid, l'équipe de developpez.com vous propose un challenge assez court qui peut laisser place à l'optimisation.

Challenge :



Il s'agit d'écrire une fonction (s: string) → string qui renvoie un palindrome p tel que:

• s contient p
• s ne contient aucun palindrome qui soit strictement plus long que p

On rappelle qu'un palindrome est une chaîne de caractère dont l'ordre de lettre est identique, selon que la lise par la gauche ou par la droite.
Formellement, une chaîne s est un palindrome si et seulement si :
Pour tout i de 0 à taille(s)-1, s[i] = s[taille(s)-1-i]

Les règles

Il n'y a pas de règle particulière (évidemment, il faut que la solution proposée fonctionne). Vous pouvez proposer des solutions aussi bien dans des langages fonctionnels (caml, haskell, scheme, lisp...) qu'impératif. Le public pourra ainsi juger du code suivant divers critères :

• la maintenabilité
• la simplicité
• le fait qu'il soit optimisé

Le public pourra également juger les différences entre une solution fonctionnelle et une solution impérative. Il lui sera ainsi plus facile de voir, pour un même problème, les différences entre divers paradigmes.

Pour répondre, il vous suffit de poster à la suite.

A vos claviers
de votre participation.

__________________________
Sujet proposé par SpiceGuid

[Jedai]

J'avais une petite solution en Haskell, qui utilise un zipper de liste. Je me suis concocté mon propre zipper mais on peut aussi trouver des implémentations sur Hackage :
MyListZipper.hs :

Code Haskell :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
module MyListZipper (LZ(), toZipper
                    , forward, backward
                    , (<|), (|>)
                    , start, end
                    , next, prev) where

data LZ a = LZ [a] [a]

toZipper xs = LZ [] xs

forward, backward :: LZ a -> LZ a
forward z@(LZ xs []) = z
forward (LZ xs (y:ys)) = LZ (y:xs) ys
backward z@(LZ [] ys) = z
backward (LZ (x:xs) ys) = LZ xs (x:ys)

(<|) :: a -> LZ a -> LZ a
y <| (LZ xs ys) = LZ xs (y:ys)
(|>) :: LZ a -> a -> LZ a
(LZ xs ys) |> x = LZ (x:xs) ys

start, end :: LZ a -> Bool
start (LZ xs _) = null xs
end (LZ _ ys) = null ys

next, prev :: LZ a -> (a, LZ a)
next (LZ xs (y:ys)) = (y, LZ xs ys)
prev (LZ (x:xs) ys) = (x, LZ xs ys)

Et le code principal :

Code Haskell :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
module Main () where
import Data.List
import Control.Arrow
import MyListZipper

data Pal a = Pal [a] [a]

expand (Pal beg seed) = beg ++ seed ++ reverse beg

grow :: (Eq a) => Pal a -> LZ a -> Pal a
grow pal@(Pal beg seed) z 
    | start z || end z || p /= n = pal
    | otherwise                  = grow (Pal (p:beg) seed) z'
    where (p, temp) = prev z
          (n, z')   = next temp

seeds :: (Eq a) => [a] -> [(Pal a, LZ a)]
seeds = zSeeds . toZipper 

zSeeds :: (Eq a) => LZ a -> [(Pal a, LZ a)]
zSeeds z | end z     = []
         | otherwise = (pal, z') : zSeeds z''
         where
           (n, temp)      = next z
           (pal, z', z'') = findSeed [n] temp (forward z)

findSeed :: (Eq a) => [a] -> LZ a -> LZ a -> (Pal a, LZ a, LZ a)
findSeed s@(x:_) z w
    | end z || n /= x  = (Pal [] s, z, w)
    | otherwise        = findSeed (n:s) z' (forward w)
    where (n, z') = next z

longest = foldl' max (0,"") . map ((length &&& id) . expand . uncurry grow) . seeds

main = print . longest =<< getContents

L'idée est simple : on commence par isoler les séquences de lettres identiques dans s, puis on essaie de faire "grossir" ces séquences par les deux côtés tant que cela reste un palindrome, enfin on récupère le palindrome le plus long.

--
Jedaï

[djo.mos]

Salut,
Une solution impérative (code en Java) :
L'idée est parcourir les lettres de la chaine, en recherchant la lettre courante dans le reste de la chaine. Si on en trouve, on teste si la sous-chaine qui commence à la lettre courante jusqu'à la lettre trouvée est palindrome.

Code java :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
package defi6;
 
public class Defi6 {
 
	private boolean isPalindrome(char[] a, int i, int j) {
		int l = j - i;
		for (int x = i; x <= i + l / 2; x++) {
			if (a[x] != a[j - (x - i)]) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}
 
	private String extractPalyndrome(String s) {
		char[] a = s.toCharArray();
		String candidate = null;
		for (int i = 0; i < a.length; i++) {
			for (int j = i; j < a.length; j++) {
				if (a[j] == a[i] && isPalindrome(a, i, j)) {
					String pal = s.substring(i, j + 1);
					if (candidate == null
							|| pal.length() > candidate.length()) {
						candidate = pal;
					}
				}
			}
		}
		return candidate;
	}
 
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(new Defi6().extractPalyndrome("abbbccacc"));
	}
 
}

[Philou67430]

J'espère avoir bien compris qu'il faut réaliser une fonction qui retourne le plus long palindrome d'une chaine de caractère.

La fonction est réalisée en perl, et est basée sur les expressions régulières :

Code :

1
2
3
sub palindrome {
  return [sort { length $b <=> length $a } $_[0] =~ /((.+).?(??{ reverse "$2" }))/gx]->[0];
}

Exemple d'utilisation en uniligne :

Code :

1
2
3
$ perl -e '$aa = "tooiuertreuioot toot azertyuioppoiuytreza";sub palindrome { return [sort { length $b <=> length $a } $aa =~ /((.+
).?(??{ reverse "$2" }))/gx]->[0] } print palindrome($aa)'

Attention cependant, l'opérateur (??{ ... }) des expressions régulières de perl est considéré comme expérimental (version 5.10), mais il est diablement efficace ici.
L'extraction des palindromes est réalisée grâce à la regexp :
/((.+).?(??{ reverse "$2" }))/gx
à savoir un certain nombre de caractère (le plus possible), suivi éventuellement d'un caractère quelconque, suivi de la première partie déjà trouvée, mais à l'envers.
On extrait de cet expression deux chaines : le palindrome et la première partie du palindrome. La palindrome est toujours plus long que la première partie.
Ensuite, on trie le résultat par longue décroissante, et on prends le premier élément de cette liste.

[Jedai]

La solution que j'ai donné en premier lieu a une très bonne complexité/efficacité, mais ce n'est évidemment pas le plus simple qu'on puisse faire en Haskell, dans la même optique que la solution Perl, on peut avoir :

Code Haskell :

1
2
3
isPalindrome s = s == reverse s
allSubstrings = concatMap (init . tails) . inits
longest = maximumBy (comparing length) . filter isPalindrome . allSubstrings

Complexité absolument horrible bien sûr... (ça reste plus rapide que la solution Perl, même en interprété)
La solution de djo.mos est meilleure de ce point de vue mais tout de même plus complexe que ma première solution Haskell.

--
Jedaï

[Philou67430]

Sauf erreur, Jedaï, je crois que ta fonction isPalindrome ne récupère pas les palindromes de taille impaire.

[Jedai]

Envoyé par Philou67430

Sauf erreur, Jedaï, je crois que ta fonction isPalindrome ne récupère pas les palindromes de taille impaire.

Je vois mal comment ce serait possible : en effet ma fonction est une traduction directe de la définition "un palindrome se lit identiquement dans un sens ou dans l'autre"... Peux-tu m'expliquer pourquoi tu croyais cela ?
En fait dans ce second code, j'ai favorisé à fond la lisibilité et la simplicité du code, il n'y a aucune astuce, la fonction finale :

Code :

longest = maximumBy (comparing length) . filter isPalindrome . allSubstrings

dit exactement ce qu'elle fait : faire une liste de toutes les sous-chaînes, filtrer celle qui sont des palindromes et récupérer le palindrome de longueur maximale parmi ceux-ci.

--
Jedaï

[Philou67430]

Parce que j'ai mal lu le code

[Jedai]

Une solution identique à ma première mais sur un type de donnée différent, spécifiquement sur une chaîne de caractère disposant d'un accès aléatoire en O(1) (String en Haskell est un synonyme pour [Char] autrement dit une simple liste chaînée de caractères) :

Code Haskell :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
module Main () where
import Data.List
import Data.Ord
import Data.ByteString.Char8 hiding (map)
import qualified Data.ByteString.Char8 as B

data Pal = P !Int !Int deriving (Show)

expand :: ByteString -> Pal -> ByteString
expand bs (P start end) = fst . B.splitAt (end - start) . snd . B.splitAt start $ bs

grow :: ByteString -> Pal -> Pal
grow bs p@(P start end)
    | start == 0 
      || end == B.length bs
      || bs `index` (start-1) /= bs `index` end = p 
    | otherwise                                 = grow bs (P (start - 1) (end + 1))

seeds :: ByteString -> [Pal]
seeds bs | B.null bs = []
         | otherwise = go (B.head bs) 0 1
    where
      go c start end 
          | end == B.length bs = [P start end]
          | c == nextChar      = go c start (end + 1)
          | otherwise          = P start end : go nextChar end (end + 1)
          where nextChar = bs `index` end

longest :: ByteString -> ByteString
longest bs = expand bs . maximumBy (comparing lengthPal) . map (grow bs) . seeds $ bs
    where lengthPal (P s e) = e - s

main :: IO ()
main = print . longest =<< B.getContents

Cette solution reste complètement fonctionnelle : il n'y a pas le moindre soupçon de mutation ou de code impur dans le tas, simplement il utilise un tableau fonctionnel (immutable) à la place d'une liste chaînée.

Je doute qu'on fasse beaucoup mieux que ce code par la suite (du point de vue rapidité).

--
Jedaï

[Jedai]

Il est intéressant de noter qu'encore une fois les critères algorithmiques priment sur la question du langage ou de l'efficacité de la structure de donnée choisie : sur un fichier de taille raisonnable (1,5 Mo, un dictionnaire des mots français), ma première version mettait 0.6s environ et ma troisième 0.06s... Je ne sais pas combien de temps mettent les versions Perl et Java : je les ai arrêté après 3/4 d'heure d'exécution !

La différence tient simplement à la complexité : mes versions 1 et 3 sont en O(np) où p est la longueur du plus grand palindrome), la version Perl est en O(n²) et la version Java également, bien que chacune ait une petite optimisation par rapport à ma version 2 (en O(n²p) pur jus).

--
Jedaï

[pseudocode]

Une version impérative (java que j'ai essayé de faire ressemble a du C). Le principe est basé sur l'aspect "miroir" des palindromes: pour chaque caractère de la chaine, on explore simultanément a gauche + a droite jusqu'a rencontrer une différence.

Code java :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
public class Palindrome {
 
	private int palindromeLength,palindromeStart;
 
	private void explore(char[] s, int length, int start) {
		for(int i=0,j=0;j<=1;j++) {
			for(i=1;(start - i + j)>=0 && (start + i)<length;i++)
				if (s[start - i + j] != s[start + i]) break;
			int plen=1+2*(i-1)-j;
			if (plen>palindromeLength) {
				palindromeLength=plen;
				palindromeStart=start-i+1+j;
			}
		}
	}
 
	public String getLongestPalindrom(char[] s) {
		palindromeStart=0;
		palindromeLength=0;
		for(int i=0;i<s.length;i++)
			explore(s,s.length,i);
		return new String(s,palindromeStart,palindromeLength);
	}
}

EDIT (jeudi à 14h00): Une réecriture de l'algo ci-dessus dans une seule fonction pour avoir une meilleure "maintenabilité" et "simplicité" comme demandé dans l'énoncé. Vive les commentaires.

Code java :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
String getLongestPalindrom(char[] s, int length) {
	// pointeurs sur le meilleur palindrome trouvé
	int palindromeStart=0,palindromeLength=0;
	// pointeurs gauche/droite sur les caractères
	int left,right;
	// pour chaque caractère de la chaine
	for(int i=0;i<length;i++) {
		// 1. exploration miroir par rapport a un caractère central
		for(left=i-1,right=i+1;left>=0 && right<length;left--,right++)
			if (s[left] != s[right]) break;
		// sauvegarde du meilleur palindrome
		if (right-left-1>palindromeLength) {
			palindromeLength=right-left-1;
			palindromeStart=left+1;
		}
		// 2. exploration miroir par rapport a un axe central
		for(left=i,right=i+1;left>=0 && right<length;left--,right++)
			if (s[left] != s[right]) break;
		// sauvegarde du meilleur palindrome
		if (right-left-1>palindromeLength) {
			palindromeLength=right-left-1;
			palindromeStart=left+1;
		}
	}
	// retourne une copie du meilleur palindrome trouvé
	return new String(s,palindromeStart,palindromeLength);
}

[Jedai]

Envoyé par pseudocode

Une version impérative (java que j'ai essayé de faire ressemble a du C). Le principe est basé sur l'aspect "miroir" des palindromes: pour chaque caractère de la chaine, on explore simultanément a gauche + a droite jusqu'a rencontrer une différence.

Tu utilise le même algorithme que moi, et ça marche pas mal : sur le fichier /usr/share/dict/words, ton programme mets 0.06s comme ma seconde version (et renvoie la même chose, heureusement).

--
Jedaï

[pseudocode]

Envoyé par Jedai

Tu utilise le même algorithme que moi

heu... oui. Si tu le dis, je veux bien te croire, vu mon incompétence a déchiffrer du haskell.

PS: le worst-case pour cet algo c'est lorsqu'on a des grandes séquences de lettres identiques. Cela peut se régler en faisant une première passe pour "compresser" les sequences.

[Jedai]

Envoyé par pseudocode

heu... oui. Si tu le dis, je veux bien te croire, vu mon incompétence a déchiffrer du haskell.

PS: le worst-case pour cet algo c'est lorsqu'on a des grandes séquences de lettres identiques. Cela peut se régler en faisant une première passe pour "compresser" les sequences.

En fait pour être exact, tu utilises la même idée de base, sauf que moi je fais cette première passe dont tu parles (enfin je ne "compresse" pas, je regroupe et fait "grandir" mes palindromes à partir de ces plages de caractères identiques). Néanmoins, le plus important c'est tout de même que ton algorithme, comme le mien est en O(np) et donc capable d'avaler des textes de grande taille, contrairement aux algorithmes en O(n²).

Si je faisais exactement comme toi dans ma 3ème version, j'écrirais :

Code Haskell :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
module Main () where
import Data.List
import Data.Ord
import Data.ByteString.Char8 hiding (map)
import qualified Data.ByteString.Char8 as B

data Pal = P !Int !Int deriving (Show)

expand :: ByteString -> Pal -> ByteString
expand bs (P start end) = fst . B.splitAt (end - start) . snd . B.splitAt start $ bs

grow :: ByteString -> Pal -> Pal
grow bs p@(P start end)
    | start == 0 
      || end == B.length bs
      || bs `index` (start-1) /= bs `index` end = p 
    | otherwise                                 = grow bs (P (start - 1) (end + 1))

longest :: ByteString -> ByteString
longest bs = 
  expand bs . maximumBy (comparing lengthPal) . map (grow bs) 
    $ [p | start <- [0..B.length bs - 1], p <- [P start start, P start (start + 1)]]
  where lengthPal (P s e) = e - s

main :: IO ()
main = print . longest =<< B.getContents

--
Jedaï

[rrk275]

Il me semble que ton algo est O( n * p ) , mais ou p se serait la moyenne de la taille des palindromes et non que celle du plus grand ( ce qui est la meme chose qu'en pire cas ... )

Enfin ...

je vous propose un algo qui n'est pas mieux que les votre dans le cas moyen parce qu'il a une constante un peu plus grande que les votre et qu'il n'est qu'en O( n * log(Pmax) ) (en pire cas comme en moyenne ) or je crois que Pmoyen ~= log(Pmax) sur une distribution bien aleatoire donc pas bien mieux ... sauf sur le pire cas !

Le principe de cet algo repose sur le fait que si il n'existe pas de palindrome de taille n ou n+1 (eh oui obliger de distinguer les cas pair et impair ) c'est qu'alors il n'y en a pas de plus grand que n. De la on peut faire une dichotomie.

La fonction qui regarde si il n'y a pas de palindrome fonctionne avec un hachage ce qui permet ( globalement ) de considerer que la comparaison des cotes gauches et droites se fait en O(1) si elle echoue et O(P) si elle reussit comme elle ne reussit que une fois par appel on a bien du O(N) pour cette fonction donc un total de O( N ln P ).

Code C++ :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
 
 
class palindrome
{
public:
  int debut , plus_grand ;
private:
  int * hash_droite  ;
  const char * source ;
  int longueur;
 
  inline bool compare (  int taille , int a  ,int b )
  {
    while ( taille > 0 )
      {
	if( source[a--] != source[b++] )
	  return false ;
	taille--;
      }
    return true ;
  }
 
 
  inline bool possible ( const int taille  )
  {
    plus_grand = -1 ;
 
    int decal = 1 ;
    for ( int i = 0 ; i < taille ; i++ )
      decal *= 5 ;
 
 
    int hash = 0 ;
 
    hash_droite[ longueur-1 ] = source[ longueur - 1 ] ;
    for( int i =  longueur-2 ; i >= 0; i -- )
      if ( (size_t)i+taille < longueur )
	hash_droite[ i ] = hash_droite[i+1]*5 + source[i] - decal*source[i+taille] ;
      else
	hash_droite[ i ] = hash_droite[i+1]*5 + source[i] ;
 
    for ( int i = 0 ; i < taille ; i ++ )
      hash = hash * 5 + source[i] ;
 
    for ( size_t i = taille ; i + taille <= longueur ; i++ )
      {
	if( i+taille < longueur )
	  if( hash_droite[i+1] == hash )
	    if ( compare ( taille, i-1 , i+1 ) )
	      {
		plus_grand = 2*taille+1 ;
		debut = i-taille ;
		return true ;
	      }
 
	if( hash_droite[i] == hash )
	  if ( compare ( taille, i-1 , i ) )
	    {
		plus_grand = 2*taille+1 ;
		debut = i-taille ;
	    }
	hash = hash*5+source[i]-decal*source[i-taille] ;       
      }
    return plus_grand != -1 ;
  }
public:
  palindrome ( const string & chaine )
  {
    plus_grand = -1 ;
    source = chaine.c_str() ;
    longueur = chaine.size () ;
    hash_droite = new int[ longueur ] ;
    int gauche = 1 ;
    int droite =  longueur/2+1 ;
    while( gauche < droite && possible( gauche  )  )
      gauche *= 2 ;
    droite = min( droite , gauche );
    gauche /= 2 ;
    while (  droite-gauche > 1 )
      {
	const int milieu = (droite+gauche)/2 ;
	if ( possible ( milieu ) )
	  gauche = milieu ;
	else
	  droite = milieu ;
      }
    possible(gauche);
    delete hash_droite ;
  }
 
};

Voila!


Louis

[Philou67430]

Jedaï, quand j'utilise ton algorithme 3, avec GHC 6.10.2, sur WinXP Pro, j'obtiens une erreur :

Code :

1
2
3
4
$ cat french | ./palindrome
Stack space overflow: current size 8388608 bytes.
Use `+RTS -Ksize' to increase it.

J'ai essayer de compiler avec les options +RTS -K100M, mais j'ai le même message d'erreur.
Je suis dans une fenêtre cygwin pour lancer la commande. J'ai la même erreur depuis une fenêtre de commande windows (en appelant palindrome.exe <french).
Je vais tenter sous Ubuntu (virtualisé sur mon XP)...

Voici une version Caml pas mal bidouillesque :

Code :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
(* length of an even palindrom, going left from [i] and right from [j] *)

let length_pal_even s i j =
  let l = String.length s in
  let rec aux i' j' acc = 
    if i' < 0 || j' >= l || s.[i'] <> s.[j'] then 2 * acc
    else aux (pred i') (succ j') (succ acc) in
  aux i j 0


(* number of equal chars from [i] *)
let length_rep s i = 
  let l = String.length s in
  let c = s.[i] in
  let rec aux i' acc = 
    if i' >= l || s.[i'] <> c then acc
    else aux (succ i') (succ acc) in
  aux (succ i) 1


(* starting position and length of the first longest pal *)
let longest_pal s = 
  if s = "" then (0, 0) else
  let l = String.length s in

  (* bp = best position
     bl = best length
     i = current position
  *)
  let rec aux bp bl i =
    (* if we reached the end of the string *)
    if i >= l then (bp, bl) else
    let lr = length_rep s i in

    (* external lenth: lenght of the palindrome outside the current
    repetition *)
    let el = length_pal_even s (pred i) (i + lr) in

    (* palindrom length*)
    let pl = el + lr in
    if pl > bl then 
      aux (i - (el / 2)) pl (i + lr)
    else
      aux bp bl (i + lr)
  in
    aux (-1) (-1) 0



(* two helpers to get the content of a file *)
let with_input_file ?(bin=false) x f =
  let ic = (if bin then open_in_bin else open_in) x in
  try let res = f ic in close_in ic; res with e -> (close_in ic; raise e)

let read_file x =
  with_input_file ~bin:true x begin fun ic ->
    let len = in_channel_length ic in
    let buf = String.create len in
    let () = really_input ic buf 0 len in
    buf
  end


(* the main function *)
let _ = 
  let s = read_file Sys.argv.(1) in
  let p, l = longest_pal s in
    Printf.printf "The longest pal has length %i and is [[%s]]" l (String.sub s p l)

De l'ordre de dix fois plus rapide que la première version de Jedai sur la bible (4,3 MO), et deux fois plus rapide que la 3eme version, mais je ne suis pas sûr d'avoir employé les bonnes options de compilation, donc à voir !

Envoyé par alex_pi

De l'ordre de dix fois plus rapide que la première version de Jedai sur la bible (4,3 MO), et deux fois plus rapide que la 3eme version, mais je ne suis pas sûr d'avoir employé les bonnes options de compilation, donc à voir !

Sur un fichier avec de *nombreuses* et *longues* répétition, la 3ème version de Jedai me rattrape, mais la première devient 50 fois plus lente.

[Jedai]

Je précise que je compile avec optimisation (-O2 -funbox-strict-fields) rien de plus compliqué.

@Philou : Tu as bien compilé avec optimisation ? Pour ma part je n'ai pas eu de stack overflow et je ne pense pas que tu ais le problème avec les optimisations (ça pourrait venir du maximumBy, mais avec optimisation, il est normalement strict et donc non sujet à ce problème).

@AlexPi : Il est relativement normal que la première version soit bien plus lente sur de gros fichiers vu qu'elle utilise String, qui n'est autre qu'un synonyme pour [Char]... Ta version comme ma 3ème utilise des tableaux de caractères pour les chaînes et est donc nettement plus efficace. Par ailleurs si la seule différence entre ma 3ème version et ton code est un facteur 2, je m'avoue plutôt content puisqu'a priori tu as employé une technique relativement plus bas niveau que la mienne.

Envoyé par Jedai

Par ailleurs si la seule différence entre ma 3ème version et ton code est un facteur 2, je m'avoue plutôt content puisqu'a priori tu as employé une technique relativement plus bas niveau que la mienne.

Oh oui !! Mais quand même du fonctionnel pur hein