Discussion :

[sole]

Bonjour!!

Déjà je ne sais pas si je suis au bon endroit dans ce forum donc excusez moi d'avance si je me suis trompée.

En fait j'aurai voulu comprendre pourquoi lorsque nous faisons une corrélation entre 2 images qui se ressemblent nous obtenons un pic de corrélation. Je voudrai l'explication mathématique.

Merci

[mathieu_t]

Salut !

Tu veux l'explication de la formule pas à pas ou en gros ?

En gros : la corrélation est mathématiquement liée à un calcul de distance dans un espace affine (enfin à ce que je me souvienne) entre deux vecteurs... Plus ils sont proches, plus la distance est minimale, et inversement plus le coeff de corrélation est grand.

Sinon pour s'en convaincre, je pense que le mieux est de dériver la formule par rapport à x (y constant par ex) et de trouver le lieu ou la dérivée s'annule (il faut aussi calculer la dérivée seconde pour vérifier qu'elle est négative et que donc on a affaire à un max) : le lieu normalement est lorsque x = y...

[sole]

En fait je sais que la technique fonctionne je l'ai utilisé mais j'aimerai prouver par une formule mathématique ou d'une autre façon que c'est pas n'importe quoi cette technique

[Matthieu Brucher]

2 images qui se ressemblent beaucoup. On a eu la discutiona vec Mathieu dans un autre sujet récemment
2 images qui se ressemblent en quel sens ? C'est ça en fait ta question. Le calcul de corrélation linéaire indique si la distance entre les 2 images est grande ou pas. Plus elle est petite et plus la corrémation sera proche de 1. Plus elle est grande et plus la corrélation tendra vers 0.
Pourquoi les images se ressemblent en terme de distance lorsque la corrélation est maximale ? Parce que la corrélatio est justement dérivée de la distance.
Maintenant si tu veux aller plus loin, tu peux faire un test de corrélation non-linéaire, ce qui sera plus proche encore de ce que les yeux voient.

[sole]

Pourquoi les images se ressemblent en terme de distance lorsque la corrélation est maximale ? Parce que la corrélation est justement dérivée de la distance.

c'était ça que je voulais entendre!! merci

[sole]

j'amerai bien réussir à le prouver par un calcul!
quelqu'un l'a déjà fait?

[ronan99999]

Par xemple prenons deux vecteur A et B de R2 on cherche à minimiser l'erreur quadratique entre A et B.

DISTEUCLIDIENNE(A,B) = NORMEEUCLIDIENNE(A,B) = (Ax-Bx)²+(Ay-By)²
= Ax²+Bx²+Ay²+By²-2*Ax*Bx-2*Ay*By

comme les coordonnése de A et B sont dans R alors:

Ax² ,Bx²,Ay² ,By², sont positif on cherche alors à maximiser:

Ax*Bx + Ay*By qui représente la corrleaiton entre A et B.

Aprés tu peux généraliser à un vecteur de dimension n

[DrTopos]

Si je comprends bien le sens de la question du premier post (je me trompe peut-être) il s'agit de prouver une équivalence logique A <=> B, où

A serait: les deux images se ressemblent,
B serait: la corrélation est proche de 1.

Le problème est que pour prouver mathématiquement quoi que ce soit, il faut d'abord avoir des énoncés mathématiques. Pour B ça va, on arrivera à lui donner un sens précis. Par contre pour A, je ne connais pas de définition précise du verbe ressembler en mathématiques, a moins que dans le cas de ton problème la définition de A soit justement B. Dans ce dernier cas, je peux te faire une démonstration très facilement.

Plus sérieusement: il semble que la corrélation puisse être calculée de plusieurs façons (je ne suis pas un spécialiste des images). Pourrais-tu préciser comment le calcul est fait ?

[mathieu_t]

Pourquoi les images se ressemblent en terme de distance lorsque la corrélation est maximale ? Parce que la corrélation est justement dérivée de la distance.

c'était ça que je voulais entendre!! merci

Vilain ! -->

En gros : la corrélation est mathématiquement liée à un calcul de distance dans un espace affine (enfin à ce que je me souvienne) entre deux vecteurs... Plus ils sont proches, plus la distance est minimale, et inversement plus le coeff de corrélation est grand.

M'enfin bon de toute façon je suis d'accord avec DrTopos, le tout c'est de "mathématiser" ce qui semble naturel pour notre cerveau, et donc cette formule est en quelque sorte une petite bidouille par rapport à la réalité vraie... C'est quasi-métaphysique non ?

A+

[Matthieu Brucher]

La corrélation linéaire, c'est A.B/(sqrt(A²)*sqrt(B²)) - le . est le produit scalaire, A² étant alors la norme 2 -
Ca, ça vaut 1 lorsque A=kB
On calcule là le cosinus de l'angle entre A et B par définition du produit scalaire - c'est la base du produit scalaire et de la notion de corrélation, si tu veux plus d'infos, je t'invite à faire un tour dans tes bouquins de terminale... -

[DrTopos]

La corrélation entre deux vecteurs est donc le cosinus de leur angle. Soit.

Ceci dit, ça n'a de sens que dans un espace euclidien, c'est à dire un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (forme quadratique définie positive). Je suppose que A et B sont les deux vecteurs représentant les deux images. Il y a deux choses que je ne vois toujours pas précisément:

1. Quels sont précisément les vecteurs associés aux images et dans quel espace vectoriel. Manifestement cela suppose que les couleurs (ou les composantes primaires des couleurs) soient mesurées par des réels. Ce n'est pas difficile à imaginer, mais il y a peut-être plusieurs solutions (correction gamma et autres gadgets physiologiques). De plus, l'image est-elle discrète (une fonction d'un ensemble fini de positions de pixels vers un ensemble de couleurs) ou est-elle continue (une fonction d'un rectangle du plan affine réel vers l'ensemble des couleurs).

2. Comment est défini le produit scalaire sur cet espace vectoriel. Il est bien clair qu'il n'est pas défini de la même manière suivant que l'image est discrète (sommations finies) ou continue (calcul intégral). De plus sur un espace de fonctions il y a des quantités de produit scalaires différents. J'imagine que suivant le produit scalaire choisi, on peut tenir plus ou moins compte du fait que l'image est à deux dimensions et/ou prendre en compte une influence de ses voisins sur un pixel (en faisant des sortes de convolutions, etc... ).

Mêmes quand ces points seront éclaircis (pardonnez moi de pinailler ainsi, mais c'est dans ma nature), on n'aura toujours pas répondu à la question du premier post, et on ne saura même pas si cette réponse relève des maths ou de la physiologie. Moralité: il y a encore du travail sur la planche. Ceci dit, j'enfonce peut-être des portes ouvertes, étant complètement ignare en traitement d'image.

[Matthieu Brucher]

En fait une image n*m est représentée sur IR^(n*m) par un vecteur. Si jamais on a des couleurs, on passe à IR^(3mn). En imagerie médicale, on a toute sorte d'amplitude, même des images à valeurs négative, on s'en fout, ça marche bien Quand je travaille, je considère que les valeurs sont continues, même si parfois, je dois les coder sur des shorts !

[sole]

Houlala! c pas gagné lol. Mon image est en niveau de gris.
Je vais essayer de plancher sur vos propositions dès maintenant!