Discussion :

[coyotte507]

Bonjour,

Toujours à cause d'un exo , je dois déterminer le nombre de personnes qu'il faut dans une pièce pour avoir 50% de chances d'en avoir 3 qui aient le même anniversaire!

Pour deux anniversaires, ça va, j'arrive au résultat que si il y a k personnes dans la pièce, alors la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire est de 1 - 365!/[(365-k)!*365^k]. Ainsi l'on obtient P(23) = 0.51 ...
________
Par contre c'est plus dur avec trois anniversaires. Il faut considérer le cas où il y a des doublons...
En gros il me faudrait à peu près 23 doublons avant de tomber sur un troisième anniversaire!

@_@

En bidouillant énormément, je trouve qu'il faut 108 personnes, mais ce résultat peut être totalement faux...

En fait j'aurais besoin qu'on éclaire ma lanterne ,
je crois que mon niveau de maths n'est pas suffisant.

[Zavonen]

Simplifions et considérons un anniversaire comme un nombre entre 1 et 365.
Soit n le nombre de personnes:
Tu connais déjà le nombres de cas K(1,n) où tous les anniversaires sont distincts (tu as écris la formule correcte).
Il te suffit donc de trouver maintenant le nombre de cas K(2,n), où il y a deux et exactement deux anniversaires identiques.
Le nombres de paires possibles parmi les n personnes est:
n(n-1)/2
leur anniversaire commun peut prendre 365 valeurs distinctes, les n-2 autres doivent avoir des anniversaires distincts du leur.
Je propose donc pour ce cas la formule:

n(n-1)/2 * 365 *(364 ^(n-2)).

La probabilité pour qu'on ait au moins 3 anniversaires communs est donc

1 - (K(1,n)+K(2,n))/365^n

[pseudocode]

Il te suffit donc de trouver maintenant le nombre de cas K(2,n), où il y a deux et exactement deux anniversaires identiques.

Pourquoi "deux et exactement deux" ? Il faudrait aussi comptabiliser les groupes de "2" qui sont distincts entre eux.

L=[ 01-jan, 01-jan, 02-fev, 02-fev, 03-mar, 04-avr, 05-mai, ...]

leur anniversaire commun peut prendre 365 valeurs distinctes, les n-2 autres doivent avoir des anniversaires distincts du leur.

... et egalement ne pas avoir plus de 2 fois la meme valeur.

[Zavonen]

Exact! J'y retourne
Alors dans ce cas cela sent fortement la récurrence:
K(q,p,n) = Nombre de suites de n éléments pris dans p telles que chaque élément n'apparait pas plus de q fois

Alors K(2,p,n)=n(n-1)/2*p*K(2,p-1,n-2)

D'accord ?

[pseudocode]

Alors K(2,p,n)=n(n-1)/2*p*K(2,p-1,n-2)

D'accord ?

je ne sais pas, j'ai la flemme de calculer les formulations récursives.

L'experimentation "java" donne "88" comme solution au probleme du PO.

(Mon propre calcul m'a donné 83, j'ai du me planter quelquepart )

[Zavonen]

Le programme suivant donne 23.
Il y a peut être une erreur

Code :

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# nombre de suites de n éléments pris dans {1;2;...;p} tous distincts
def K1(p,n):
    r=1
    for i in range(0,n):
        r*=(p-i)
    return r
 
# nombre de suites de n éléments pris dans {1;2;...;p} ayant au moins deux éléments égaux mais pas trois
def K2(p,n):
    if n==2:
        return p # p valeurs possibles
    if n==3:
        return 3*p*(p-1) # 1 couple de 2 éléments égaux et une valeur distinctes
    return K2(p-1,n-2)*p*n*(n-1)/2 # récurrence
 
# nombre de suites n'ayant pas 3 éléments égaux
def K(p,n):
    return K1(p,n)+K2(p,n)
 
# probabilité d'avoir au moins 3 éléments égaux
def P(p,n):
    return 1 - float(K(p,n))/p**n
 
def main():
    n=23
    print P(365,n) # le résultat dépasse 0.5
 
if __name__ == '__main__':
    main()

Oui, il y des erreurs, la récurrence n'est pas bonne.

[pseudocode]

Bon, la réponse est vraiment 88

La formule exacte de calcul est un brin complexe:

http://mathworld.wolfram.com/BirthdayProblem.html

NB: Je sais d'ou vient mon erreur perso, mais je ne corrigerai pas. J'utilise une approximation pour le calcul de Q2(n,p) qui est "un peu" fausse.

[coyotte507]

D'accord, merci beaucoup, je sens que ça va me faire beaucoup progresser.
je regarde les liens!

Edit:
En fait, j'ai pas compris d'où ils sortent la relation avec toutes les sommes... Si quelqu'un a un lien vers une page où c'est expliqué, je suis toujours preneur.

Enfin merci quand même!