Discussion :

[progfou]

Bonjour tout le monde !
Pour estimer le gradient d'une courbe 1D, j'utilise G1(x) = P(x)-P(x-1), où P(x) est mon point courant, et P(x-1) le point précédent. Si je refais la même opération sur le gradient cette fois, c'est à dire, G2(x) = G1(x)-G1(x-1), je suppose avoir une estimation de la dérivée seconde.

Ma question, c'est si au lieu d'utiliser cela, j'utilise:
G1(x) = ABS [P(x)-P(x-1)]
G2(x) = ABS[G1(x) - G1(x-1)]

Que représente G2 ?

Peut-être ais-je tout faux, mais j'aimerai que ça s'éclaircisse.

Merci d'avance !

[corentin59]

J'espère que je ne me trompe pas dans mon raisonnement :

soit D2+, l'ensemble des x tels que G1(x) - G1(x-1) est positif
soit D2-, l'ensemble des x tels que G1(x) - G1(x-1) est négatif
sur D2+, G2=ABS[G1(x) - G1(x-1)] est une estimation de la dérivée de G1
sur D2-, G2=ABS[G1(x) - G1(x-1)] est une estimation de l'opposée de la dérivée de G1

soit D1+, l'ensemble des x tels que P(x) - P(x-1) est positif
soit D1-, l'ensemble des x tels que P(x) - P(x-1) est négatif
sur D1+, G1=ABS [P(x)-P(x-1)] est une estimation de la dérivée de P
sur D1-, G1=ABS [P(x)-P(x-1)] est une estimation de l'opposée de la dérivée de P

si D1+ et D2+ coïncident et si D1- et D2- coïncident, alors G2 sera une estimation de la dérivée seconde de P sur D2+unionD2-. Dans les autres cas non.

[Zavonen]

Ma question, c'est si au lieu d'utiliser cela, j'utilise:
G1(x) = ABS [P(x)-P(x-1)]
G2(x) = ABS[G1(x) - G1(x-1)]

Que représente G2 ?

Avant de préciser ce que représente G2, il faut préciser ce que représente G1
(avec des v.a.)
Disons que si vous paramétrez votre courbe par x, le G1 sans v.a. représente la vitesse de la projection de P sur l'axe des abscisses. Donc vitesse positive quand le point 'monte' et négative quand il descend.
Avec les v.a; le nouveau G1(x) représente la vitesse 'absolue' de la projection de P.
Quand au G2, nouvelle version (avec v.a.) il représente l'accélération absolue, c'est à dire qu'on ne se préoccupe pas du fait qu'il s'agisse d'une accélération ou d'une décélération. Cela peut être intéressant si on s'intéresse, par exemple, aux effets sur des organismes embarqués, mais ne reflète nullement la course du mobile.

[pseudocode]

Ma question, c'est si au lieu d'utiliser cela, j'utilise:
G1(x) = ABS [P(x)-P(x-1)]
G2(x) = ABS[G1(x) - G1(x-1)]

Que représente G2 ?

G1 représente la norme du gradient de P
G2 représente la norme du gradient de G1

P = { -1, 1, -1, 1}
G1 = {2,2,2}
G2 = {0,0}

G2 n'est PAS la norme de la derivée seconde de P.
P''={ -4, 4 }

Pour calculer la norme de la derivée seconde de P, il faut utiliser la formule:
|P''| = ABS [P(x)-2.P(x-1)+P(x-2)]

[Zavonen]

Nous avons affaire ici à des fonctions d'une variable P(x), G(x), etc...
Pour autant qu'il m'en souvienne la notion de gradient (grandeur vectorielle) n'a d'intérêt que pour les fonctions de 2, 3 variables ou plus. Le vecteur gradient étant en tout point orthogonal aux courbes (ou surfaces) de niveau, caractérisée par des une équation f(M)=k (isothermes, isobares, etc...).
Le gradient, calculée avec des dérivées partielles, donne la direction dans laquelle la fonction varie le plus vite (lignes de pente).
Dans le cas d'une variable, les lignes ou les surfaces de niveau se résument à des points. Que devient notre gradient dans tout cela ?
Par ailleurs le cas de la norme des espaces euclidiens R^n se réduit à la valeur absolue en dimension 1.
Or, contrairement au cas n>=2, la norme est presque linéaire en dimension 1, puisque |f(x)|=+/-f(x) (au moins localement).
Je suis donc étonné de voir ici des références à des notions n'ayant que peu ou pas de signification en dimension 1.
Cela dit (G(x+1)-G(x))/1 représente bien la dérivée 'discrète' correspondant à dx=1.

[corentin59]

ben oui, c'est pour cela que j'ai plutôt parlé d'estimation de dérivées

[FR119492]

Salut !

D'une manière tout à fait générale, l'estimation de la dérivée première, et plus encore de la dérivée seconde, d'une grandeur échantillonnée est un exercice difficile et les résultats sont hasardeux, parce que les données contiennent inévitablement du bruit et que la dérivation du bruit peut donner n'importe quoi.

Tu peux essayer avec les formules approchées suivantes (pour des points distants de h:
y'_i=(y_(i+1)-y_(i-1))/(2*h)
y"_i=(y_(i+1)-y_i+y_(i-1))/h^2

Une autre solution serait d'interpoler ta fonction par un spline cubique et de dériver deux fois ce dernier.

Bonne chance !
Jean-Marc Blanc