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Mathématiques Discussion :

calcul integrale multiple 2D


Sujet :

Mathématiques

  1. #1
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    Par défaut calcul integrale multiple 2D
    Bonjour,

    Je recherche un algorithme permettant de calculer une integrale 2D. Si je connaissais l'expression de F(x,y) ca serait facile mais la en fait j'ai juste un ensemble de points representant les (Xi,Yj,Fij=F(Xi,Yj)).
    Une remarque c'est que je suis à pas constant aussi bien en x qu'en y.
    Je pensais partir d'une methode basée sur la methode des rectangles, mais je chercherais une methode quand meme plus precise pour l'estimation du volume hors je ne vois pas trop comment adapter la methode des trapezes par ex.



    Bonne journée,
    G.

  2. #2
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    Par défaut
    Bonjour,

    Je pense que tu calcules d'abord le polynôme d'interpolation puis tu calcules l'intergrale de ce plynôme en se servant des méthodes numériques.

    Bon courage !

  3. #3
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    Par défaut
    Salut !

    Tu trouveras les formules dont tu as besoin dans "Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables" de Abramowitz et Stegun, à la page 892, disponible gratuitement sur
    http://www.knovel.com/knovel2/Toc.jsp?BookID=528

    Bonne chance
    Jean-Marc Blanc
    Calcul numérique de processus industriels
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    Point n'est besoin d'espérer pour entreprendre, ni de réussir pour persévérer. (Guillaume le Taiseux)

  4. #4
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    Merci je vais regarder tout cela.

  5. #5
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    Par défaut
    Si tu veux calquer ta méthode sur celles des trapèzes, tu peux procéder ainsi:
    Essayer d'estimer une valeur 'moyenne' de la fonction sur le rectangle
    Xi, Yj,Xi+1 , Yj+1
    Je suggère:
    (f(Xi)+f(Yj)+f(Xi+1)+f(Yj+1))/4 (barycentre)
    Par la suite la contribution à l'intégrale sera:
    dsi,j=(f(Xi)+f(Yj)+f(Xi+1)+f(Yj+1))/4 *(Xi+1-Xi)*(Yj+1-Yj)
    Ensuite il n'y a plus qu'à sommer ces quantités par une double boucle.
    Si j'ai le temps je vais poster un exemple.
    Ce qu'on trouve est plus important que ce qu'on cherche.
    Maths de base pour les nuls (et les autres...)

  6. #6
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    Par défaut exemple
    Ici on somme la fonction x^2y^2 sur le carré défini par les deux intervalles
    [-1,+1], on doit trouver 4/9

    Code : Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part
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    26
    27
    28
    29
    def filltabs():
        step=2.0/1000
        global x,y
        x=y=[0]*1000
        for i in range(0,1000):
            x[i]=y[i]=-1+i*step
        global F
        F=[0.0]*1000000
        for i in range (0,1000):
            for j in range (0,1000):
                F[1000*i+j]=x[i]*x[i]*y[j]*y[j]
     
     
    def integre():
        I=0.0
        for i in range (0,999):
            for j in range (0,999):
                moyenne=(F[1000*i+j]+F[1000*(i+1)+j]+F[1000*i+(j+1)]+F[1000*(i+1)+(j+1)])/4
                ds=abs(x[i+1]-x[i])*abs(y[j+1]-y[j])
                dI=moyenne*ds
                I+=dI
        return I
     
    def main():
        filltabs()
        print integre()*9
     
    if __name__ == '__main__':
        main()
    Ce qu'on trouve est plus important que ce qu'on cherche.
    Maths de base pour les nuls (et les autres...)

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