Discussion :

[sidahmed]

Bonjour,

je voudrais savoir si quelqu'un connaît la démonstration de la fameuse formule dans l'ensemble des nombres complexes C : i² = -1.

Merci d'avance.

[Zavonen]

Il n'y a pas de DEMONSTRATION au sens où tu l'entends.
C est construit comme une extension de R, pour résoudre les équations algébriques de degré 2 à discriminant négatif comme x^2+1=0.
Or on avait remarqué que si on était placé dans un corps ou CETTE équation pouvait être résolu, alors TOUTES les autres du même type pouvaient l'être aussi.
Remarque que R lui-même est construit par extension de Q pour résoudre
x^2-2=0, que Q est construit à partir de Z pour résoudre 2x=1, que Z est construit à partir de N pour résoudre x+1=0, etc.. etc...
Donc dès lors qu'on suppose le pb résolu il doit exister un élément i de C et non de R bien entendu tel que i^2=-1, de là on trouve toutes les règles de calcul usuelles avec les complexes pour assurer la conservation des propriétés algébriques (notion d'anneau de corps etc...).
Cela étant fait on CONSTRUIT formellement C à partir des couples de R^2, en prenant les règles de calcul sur les coules déterminées ci-avant.
On DEFINIT ensuite le complexe i comme étant le couple (0,1).
Donc i^2 =-1 par CONSTRUCTION.
Je ne sais pas si cela peut t'éclairer.

[millie]

Il y a également une autre construction de C que j'avais vu.

Celle-ci se base simplement sur des matrices de dimensions 2.
On définie les deux matrices (désolé, pas de notation latex, snif) :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
 
(1 0) et (0 -1)
(0 1)    (1  0)

On "note" la première matrice comme étant 1 et la deuxième matrice comme étant i. On remarque évidemment que i²=-1.



On définit C comme étant l'ensemble des combinaisons (par addition, par multiplication, par multiplicication par un réel) de 1 et de i. Ceci est également en fait l'"espace vectoriel" engengré par la base (1,i). Je met entre guillemet car on s'autorise des multiplications entre membres, ce qui n'a aucun sens dans un espace vectoriel.

Donc, grosso modo, on peut définir C avec quatre proprietés :
1 et i appartiennent à C
Si z appartient à C, et x appartient à R, zx appartient à C
Si z1 et z2 appartiennent à C, z1+z2 appartient à C
Si z1 et z2 appartiennent à C, z1 * z2 appartient à C
La mutiplication et l'addition étant les opérations usuelles pour les matrices.

Ensuite, on ajoute la notation :
Si z1 appartient à C, et que z1 est différent de la matrice nulle, on note 1/z1 la matrice inverse de z1 (dont le déterminant est non nul).


Une autre construction serait de définir C comme étant le plus petit corps contenant 1 et i.

[oiffrig]

Pour détailler un peu les propos de Zavonen, on a bien une construction de C à partir de R², que l'on munit d'une addition et d'une multiplication (qui en font un corps)
La multiplication est définie comme suit :
Pour tous (x, y, x', y') dans R^4 :
(x, y) × (x', y') = (xx' - yy', xy' + x'y)

Étant donné qu'on a posé i = (0, 1) et que l'on identifie tout réel x au couple (complexe) (x, 0), il suffit de calculer :
i² = (0, 1) × (0, 1) = (0 × 0 - 1 × 1, 0 × 1 + 0 × 1) = (-1, 0) = -1

[Kevinas]

Sur le forum (http://www.developpez.net/forums/sho...=392018&page=2), j'ai donné la construction (succinte) de tous les ensembles des nombres usuels (N, Z, Q, R et C).

Rappel sur la construction de C
Soit l'ensemble des couples sur RxR muni des deux opérations suivantes :
1. addition : (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
2. multiplication : (a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Le couple (0,1) est noté i.
C devient un corps commutatif d'extension 2 de R.

Nous identifions le couple (0, 1) à i, le couple (a, 0) à a et le couple (0, b) = (0, 1)*(b, 0) à i*b; ce qui donne :
(a,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)=a+ib et
i² = (0, 1)*(0, 1) = (0*0-1*1, 0*1+1*0) = (-1, 0) = -1.

Ce qu'obtient bien évidemment Oiffriq.