Les 3 aiguilles de l'horloge [Résolu]

[pseudocode]

Combien de fois par jour les trois aiguilles d'une horloge (heure, minute, seconde) sont elles superposées ?

Note: on considère que les 3 aiguilles se déplacent sans à-coup.

C'est plus simple que le précédent problème...

[xavlours]

Les aiguilles varient-elles continument ou de manière discréte ? Toutes pareil ou certaines continues et certaines discrètes ?

[Aitone]

23

[rostomus]

Moi, je dis 1 seule fois par jours

[Cpt Anderson]

23 ou 24 selon comment on interprete le probleme

[pseudocode]

cool... tout le monde a faux

N'oubliez pas de donner une explication pour vos reponses.

[xavlours]

Moi je dis :

2 : à minuit et à midi. Bien sûr, en l'absence de précisions, je choisis, et je suppose que les minutes et les heures bougent continument, et la trotteuse discrètement.

Dans ce cas, le seul moment où l'aiguille des minutes peut être superposée avec celle des secondes, c'est sur le 12 (car si on n'est pas à 0 secondes, l'aiguille des minutes est forcément entre 2 graduations).

Donc il faut que les 3 aiguilles pointent sur le 12, c'est à dire à midi ou minuit.

[rostomus]

démonstration :
l'unité est la seconde, soient S,M,H les positions (angulaire) des aiguilles (seconde, minute, heur) donc on a:

Code :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

    2*pi                   2*pi                   2*pi
S=--------*t    et   M=--------*t    et  H=------------*t    
    60                     60*60                60*60*24
avec t € [0 , 24*60*60[
les aiguilles sont superposé ==> 

S-M=2*pi*K1  
M-H=2*pi*K2
==>
      6*60
t=--------*K1             avec    K1 € [0 , 59*240[
       59
       60*60*24
t=--------------*K2    avec    K2 € [0 , 23[
           23
                 59*240
t=t ==>      K1=----------*K2   ==>  K1=0  ==> t=0 ==> une fois
                    23

[pseudocode]

xavlours a trouvé... mais pour une mauvaise raison.

[rostomus]

Moi, j'ai oublié que l'aiguille des heurs fait 2 toures par jour

[pseudocode]

Envoyé par rostomus

Moi, j'ai oublié que l'aiguille des heurs fait 2 toures par jour

Et pourtant t'as ecrit: avec t € [0 , 24*60*60[

Pour les balaises en math, il y aura une deuxieme question...

[rostomus]

l'erreur etait ici:

Code :

1
2
3
4
     2*pi
H=------------*t    
   60*60*24

en fait c'est :

Code :

1
2
3
4
    2*pi
H=------------*t    
  60*60*12

[pseudocode]

Reduisons le pb a 12 heures... apres on multipliera par 2 :-)

soit t le nombre de tour fait par l'aiguille des heures => t varie continuement sur [0,1[. Pour un t donné, l'aiguille des minutes a fait m(t)=12*t tours, et celle des secondes s(t)=12*60*t=720*t tours.

Lorsque les aiguilles heure/minute sont superposées, alors on a :
t = partie fractionnaire de m(t) = m(t) - E(m(t)) (E est la partie entiere)
donc t = 12*t - E(12*t), ce qui equivaut a 11*t = E(12*t).
donc t est un multiple de 1/11

De meme lorsque les aiguilles minute/seconde sont superposées, on obtient
708*t = E(720*t), donc t est un multiple de 1/708

il faut donc trouver le nombre de t à la fois multiples de 1/11 et de 1/708. Comme 11 et 708 sont premiers entre-eux, il n'y a qu'un seul t possible: t=0.

D'ou 1 alignement en 12 heures => 2 alignements en 24 heures

[pseudocode]

Question subsidiaire de la mort:

Quelle heure etait-il lorsque les 3 aiguilles ont été le plus proche de se superposer ? (réponses multiples)

(Hors cas trivial midi/minuit. On resoudra donc le probleme dans les intervalles 01:00:00 - 11:00:00 et 13:00:00 - 23:00:00)

Facile...

[rostomus]

Je trouve : 02:11:12 et 14:11:12

[Satch]

Envoyé par rostomus

Je trouve : 02:11:12 et 14:11:12

Et bien sur, sans explication :p

[pseudocode]

Envoyé par Satch

Et bien sur, sans explication :p

Et de toute facon, c'est pas ca.

[spawntux]

Bas logiquement je penserait :

1h5 et 5sec
2h10 et 10sec
3h15 et 15 sec

etc ....


NON ??

[Aitone]

Envoyé par pseudocode

Et de toute facon, c'est pas ca.

Mais est-ce que ces 2 réponses font partie de la solution ?

[pseudocode]

Envoyé par Aitone le chien

Mais est-ce que ces 2 réponses font partie de la solution ?

Non. Il y a 4 réponses acceptables...

(donc 2 pour le matin et 2 pour l'apres midi, )