Les 3 aiguilles de l'horloge [Résolu]

[pseudocode]

Envoyé par spawntux

Bas logiquement je penserait :
1h5 et 5sec
2h10 et 10sec
3h15 et 15 sec

Non...


Si on suit ton raisonnement:

1h5 et 5sec
2h10 et 10sec
...
10h50 et 50sec
11h55 et 55sec

Avec cette methode, plus ca va, plus l'aiguille des heures s'eloigne de celle des minutes. A 11:55:55, l'aiguille des heure est presque sur le 12 !!

[Aitone]

Envoyé par pseudocode

1h5 et 5sec
2h10 et 10sec
...
10h50 et 50sec
11h55 et 55sec

C'est la bonne réponse ça ? Si c'est le cas, je ne comprend plus rien . ..

[pseudocode]

Envoyé par Aitone le chien

C'est la bonne réponse ça ? Si c'est le cas, je ne comprend plus rien . ..

non, ce n'est PAS la bonne réponse. C'etait juste pour répondre au post de spawntux.

Un indice: il faut minimiser l'angle entre les aiguilles (non, sans blagues)

[rostomus]

Envoyé par Satch

Et bien sur, sans explication :p

Mon raisonnemnet est le suivant :

Code :

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

J'ai supposé une fonction à minimiser:
soit S,M,H les angle en "rad" des aiguilles (seconde,minute,heur) en fonction de temp t en seconde:
f(t)= |S - H|+|H - M|+|S - M|  ( S,M,H € [0 , 2*pi[ ) avec :
     2*pi
H=------------*t  modulo 2*pi  
   60*60*12

     2*pi
M=--------*t   modulo 2*pi   
   60*60
     2*pi
S=-------*t  modulo 2*pi  
      60
et j'ai utilisé matlab pour trouver le min de f(t) 

[pseudocode]

@rostomus:

sauf que la fonction a minimiser c'est pas:

f(t)= |S - H|+|H - M|+|S - M|

mais plutot:

f(t)= Max (|S - H| , |H - M| , |S - M| )

non ?

[rostomus]

OK,
le probleme donc est de choisir la bonne fonction a minimiser
en math il y a plusieurs norme:
norme infinie : max{|x1|,|x2|,.....} ce que vous avez utilisé
norme L1 : |x1|+|x2|+........ ce que j'ai utilisé
norme L2 : racine(x1^2+x2^2+.............
......
......

et normalement on trouve les memes resultats
je vais essayé avec la norme infinie

[rostomus]

salut, donc:

Meme avec la fonction f(t)= Max (|S - H| , |H - M| , |S - M| )
je trouve 14:11:12 et 01:11:12

[pseudocode]

@rostomus: et non, perdu.

Par contre je ne sais pas ou est l'erreur... le raisonnement m'a l'air bon
Serait-ce matlab qui se fourvoie ?

(A noter qu'on peut trouver la solution sans MatLab, avec un papier et un crayon, moyennant une division euclidienne)

[rostomus]

Envoyé par pseudocode

(A noter qu'on peut trouver la solution sans MatLab, avec un papier et un crayon, moyennant une division euclidienne)

OK, je vais essayer

[pseudocode]

Envoyé par rostomus

OK, je vais essayer

Ah, je sais d'ou vient ton probleme... Ta solution est bonne si l'aiguille des secondes se déplace par a-coups, mais pas si elle se déplace continuement.

[rostomus]

Bonjour,

(A noter qu'on peut trouver la solution sans MatLab, avec un papier et un crayon, moyennant une division euclidienne)

Je vois pas comment utiliser la méthode de division euclidienne

[pseudocode]

J'avais prévenu que c'etait balaise:


Reprenons la methode de rostomus avec une autre echelle de temps.

Soit H,M,S les angle des aiguilles en fonction de t (réel) variant entre 0 et 1
(t=0 correspond a 00:00:00, et t=1 a 12:00:00)

On a alors:

H(t) = (t * 2PI)
M(t) = (t * 12 * 2PI) modulo (2PI)
S(t) = (t * 12 * 60 * 2PI) modulo (2PI)

Changeons egalement l'echelle des angles, et comptons en "tour" (1 tour = 2PI)

On a alors:

H(t) = t
M(t) = (t * 12) modulo (1) = t*12 - E(t*12)
S(t) = (t * 12 * 60) modulo (1) = t*720 - E(t*720)


Calculons maintenant les valeur de t pour lesquels H(t)=S(t)
(ie. l'aiguille des heures et des secondes sont superposées)

H(t) = S(t)
<==> t = t*720 - E(t*720)
<==> 719*t = E(t*720)

Donc 719*t est forcement un entier, c-a-d t s'ecrit k/719 avec k=[0,719]

De meme, calculons maintenant les valeur de t pour lesquels H(t)=M(t)
(ie. l'aiguille des heures et des minutes sont superposées)
on trouve alors que t s'ecrit k/11 avec k=[0,11]


Cherchons mainteant la valeur de t pour laquelle les 3 aiguilles sont le plus proche.
Cela revient a trouver k1 et k2 tels que (k1/11) et (k2/719) soient le plus proche.
Ce que l'on peut ecrire k1,k2 tels que | k1/11 - k2/719 | soit minimal.

1er essai: k1/11 - k2/719 = 0

Cette equation n'a pas de solution non triviale car 11 et 719 sont premiers entre-eux
(Cela repond a la 1ere question: les 3 aiguilles sont alignées seulement a midi/minuit)

2nd essai: k1/11 - k2/719 = +1 ou -1

Cette equation admet forcement une solution, car 11 et 719 sont premiers entre-eux
( algorithme d'Euclide: ax+by=pgcd(a,b) )

on trouve k1=3 et k2=196 --> t=196/719
et k1=8 et k2=523 --> t=523/719

Ce qui nous donne les heures: 03:16:16 et 08:43:43