Peinture sur cube [Résolu]

[pseudocode]

Il etait une fois un gros cube blanc, formé de petits cubes blancs empilés les uns sur les autres.

Un peintre s'amusa alors a peindre en rouge certaines faces du gros cube. Mécontent du résultat final, il donna un coup de pieds dans son "oeuvre" et tous les petits cubes furent répendus au sol.

On envoya un balayeur pour nettoyer tout ca. Il remarqua qu'il y avait 217 petits cubes avec de la peinture rouge.

Question: Combien y avait-il de petits cubes parfaitement blancs ?

[Aitone]

J'ai compris le truc

Je pense qu'il y a 9*9*9 cubes donc 729
729 - 217 = 512

J'ai trouvé 729 en cherchant :
Il ne peut pas y avoir qu'une face rouge sinon le nombre de cubes rouge serait pair.
Pour 2 faces, j'ai fait au hasard : 11*11=121 11*10=110
121+121=242 -> il ne peut pas y avoir 2 faces opposées
121+110=231 -> il ne peut pas y avoir 2 faces adjacentes
Pour 3 faces, 9*9=81 9*8=72 9*7=63 8*8=64
81+72+63=216 c'est pas ça
81+72+64=217 j'ai bien retrouvé mes faces rouges...
C'est bien comme ça qu'il fallait faire ?

[pseudocode]

Envoyé par Aitone le chien

J'ai compris le truc
C'est bien comme ça qu'il fallait faire ?

Bah, tant que t'arrives au bon résultat, c'est bon.

On peut aussi y arriver de facon plus mathématique et moins empirique.

[Aitone]

Envoyé par pseudocode

Bah, tant que t'arrives au bon résultat, c'est bon.

On peut aussi y arriver de facon plus mathématique et moins empirique.

Je suis assez fort en logique mais alors en maths La cata

[xavlours]

Boh, voila comment je vois la chose :

On cherche le nombre de petits cubes dans une arête : A.
Déjà, si A <= 6, alors A^3 <= 216, donc on n'aurait
pas assez de petits cubes pour trouver 217. De même, si
A >= 15, A^2 >= 225, et même en ne peignant qu'une
seule face le peintre en ferait plus de 217.

Donc A est compris entre 7 et 14 inclus.

Le nombre de cubes peints peut être décrit par une des formules
suivantes, où N est le nombre de faces peintes :
- les faces ne se touchent pas
217 = N x A x A (N = 1 ou 2) impossible car 217 est premier
- chaque face n'a qu'une arête partagée
217 = N x A x A - A x (N - 1) (N = 2 ou 3)
217 = A(NA - N - 1) impossible car 217 est premier
- 4 faces en ceinture (partagent 4 arêtes en tout)
217 = 4 x A x A - 4 x A = 4A(A - 1) impossible car 217 est premier

Donc on est sûr qu'il y a au moins 3 faces peintes qui se partagent
un coin. On peut éliminer les N >= 10 car il y aurait plus de 271 cubes
peints. Pour le reste, je n'ai rien de mieux que de la brute force.