Li Cha'han

[Nemerle]

ôh mes amis, trouverez vous la relation qui relie les coefficients des polynômes Pn(x)=x(x+1)(x+2)...(x+n) ???

Autrement: si Pn(x)=a(n,0)+a(n,1)x+...+a(n,(n+1))x^(n+1), donner une formule pour les a(i,j)........

Li Cha'han a trouvé cette jolie relation au XVIème siècle...

[Aitone]

Hey Nemerle,

Comme tout le monse semble sécher sur la question, tu nous donnes un indice ?

[prgasp77]

Je vais donner un indice : le tèrme de plus haut degré est évidament de degré {n+1}. Soit a_{n+1} le coeffiscient de ce terme, qu isobtient en multipliant tout les x. Ainsi, a_{n+1} = 1.

le terme de degré n est la somme des terme de degré n obtenus en multipliant tous les x sauf un.
a_n = 1x^n + 2x^n + ... + nx^n = (n(n+1))x^n/2

Ainsi de suite ... il est question de combinaison. Le plus dur est de donner le terme général de a_i, qui est assez complexe.

[Nemerle]

x(x+1)=x^2+x
x(x+1)(x+2)=x^3+x^2+2x^2+2x=x^3+3x^2+2x
x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+3x^3+2x^2+3x^3+9x^2+6x=x^4+6x^3+11x^2+6x
...

Bon, comme dans le triangle de Pascal, présentons ça sous forme... d'une pyramide, pas d'un triangle:

Code :

1
2
3
4
5
6
   
         1  1
      1   3    2
   1    6   11    6
1   10   35   50   24
...

j'ai ajouté les coef. de x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4), ... directement

Alors, qui va me donner la formule?????

[Nemerle]

Code :

1
2
3
4
5
6
7
   
           1  1
        1   3    2
     1    6   11    6
  1   10   35   50   24
1  15   85   225  274   120
...

j'ai rajouté la ligne suivante... alors LES GROS, vous trouvez ou quoi????

[Aitone]

Moi j'ai pas envie de trouver la formule mais la ligne suivante...

Déjà, je pense que le dernier nombre de la suivante est 720.

Est-ce exact ?

Le deuxième est 21 ?

[Drizzt [Drone38]]

Ces deux la sont effectivement pas durs à trouver, la relation coulant de source.
Mais ça m'aide pas trop pour trouver la formule générale.

J'ai pas trop le temps de chercher c'est dommage j'aime bien ce genre de problèmes...

[prgasp77]

Allez, encore un indice :
Le coeff a(n,p) est la somme des produit de chacune des combinaisons de n-p+1 nombres parmis {1...n}

Exemple : pour a(3,2) on a comme combinaisons

Code :

1
2
3
4
5
 1x2 = 2
+1x3 = 3
+2x3 = 6
--------
      11

Allors ... quelqu'un pour trouver la mormule (un peut d'aide, il va y avoir des et des )

Bonne chance

[Nemerle]

Envoyé par prgasp77

Allez, encore un indice :
Le coeff a(n,p) est la somme des produit de chacune des combinaisons de n-p+1 nombres parmis {1...n}

Y-a plus simple! et je ne demande pas de formule explicite en sommes/produits, juste une relation de type "récurrence".

[prgasp77]

Envoyé par Nemerle

Y-a plus simple! et je ne demande pas de formule explicite en sommes/produits, juste une relation de type "récurrence".

Oui, mais en détaillant les calculs on arrive devant cette relation de récurence (elle se démontre assez bien d'ailleur).
Voici la solution :

Et voici les valeurs des a(n,p) pour n allant de 1 à 100.


Edit : Je me suis permis de poster cette enigme sur les forums de futura-sciences ... peut être seront-ils plus rapide à répondre
http://forums.futura-sciences.com/sh...274#post923274

[Nemerle]

IL A GAGNE!

formule trouvée par ce petit chinois de 15 ans au 16ième siècle...

[prgasp77]

Notre Pascal à nous il a fait mieux