[Mathématiques] L'équation cubique est-elle résolue ?

[Gilles Louïse]

Je me posais la question suivante : l’équation cubique est-elle résolue ?

Il est très clair que résolue signifie entièrement résolue. S’il y manque un morceau, si la solution n’est pas complète, alors, même si ce n’est pas agréable à entendre ni à dire, il faudra malgré tout reconnaître que le problème n’est pas entièrement résolu et comme il n’est pas entièrement résolu, il faudra dire qu’il n’est pas résolu.

Je parle bien de l’équation du troisième degré ax3+bx2+cx+d=0 dite équation algébrique à coefficients entiers (car a, b, c et d sont des nombres entiers).

Je me disais que si la solution n’était pas algébrique — comme c’est parfaitement le cas de l’équation du deuxième degré — alors la solution n’est qu’une sorte de pis-aller et une forme de tricherie éhontée.

Je ne vois pas qu’on ait à prendre la tangente et à me planter un sinus (ou un de ses amis décalés) dans la formule sous prétexte que le cas complexe, qui est d’ailleurs le cas le plus simple puisque notre bonne courbe interpelle, autant que faire se peut et sans complexes, le vérificateur horizontal, se serait appelé casus irreductibilis. La latinisation du cas n’est pas suffisante pour qu’on sorte de son chapeau une trigonométrie persona non grata c’est-à-dire non invitée à la joute explicative.

Si la solution n’est pas algébrique, ai-je le droit de dire que le problème n’est pas algébriquement résolu ? Mais comme l’équation est algébrique, je n’ai pas besoin de dire que la solution doit être algébrique, ça devrait être évident car on ne termine pas une partie d’échecs par un coup de go. Donc, puisque je n’ai pas besoin de le dire, la question se formule simplement comme suit : l’équation du troisième degré est-elle résolue ?

C’est intéressant au niveau psychologique, ça en dit long sur l’état d’esprit des humains à savoir cette conscience justificative qui consiste à croire et à faire croire à tout le monde (croire, croire, croire) qu’un problème est résolu à l’aide de l’infâme rustine alors qu’en réalité, la solution n’étant pas complète, il n’est pas résolu.

Et la contradiction, c’est que le problème n’est pas résolu mais qu’on n’a quasiment pas le droit de le dire puisque rares, très rares (rares, rares, rares) sont les livres de mathématiques qui osent conclure : on peut considérer le problème comme algébriquement non résolu. En sorte qu’il y a deux strates dont la première est de savoir si l’équation cubique est résolue et la deuxième est de savoir, si toutefois l’équation cubique n’est pas résolue, si on a le droit de le dire. Mais, pour simplifier, je m’en tiens à ma prime formulation :

l’équation cubique est-elle résolue ?

[khayyam90]

je ferais dans la réponse courte.

si j'ai bien compris ton intervention et toutes les conditions que tu poses à la définition de "résolution algébrique", je peux affirmer que l'équation cubique est résolue. Il est possible de dire de manière algébrique x1 = machin, x2 = machin' et x3 = machin''

De même pour l'équation de degré 4 (même si leurs solutions sont des vrais sacs de noeuds indigestes au possible)

Ce qui n'est plus le cas de l'équation en degrés 5 et supérieurs, demontré par Abel, si je ne me trompe.

[Médiat]

Pourriez-vous préciser les points suivants :

• Pourquoi vous restreindre à des équations à coefficients entiers (pure curiosité de ma part) ?
• Que reprochez-vous aux méthodes suivantes :
  • Cardan (16ième siècle)
  • Sotta (20ième siècle)

[Michaël]

j'en ai fait quelque unes de ces équations cette année et on en a fait du changement de variable mais on les a résolues. peut être qu'il existe des équations cubiques non résolues qu'on ne nous a pas encore fait voir cette année.

[Médiat]

khayyam90 >> tu ne te trompes pas c'est bien le théorème d'Abel. Pour une description plus détaillée, voir les groupes de Galois

[Gilles Louïse]

Envoyé par khayyam90

je peux affirmer que l'équation cubique est résolue. Il est possible de dire de manière algébrique x1 = machin, x2 = machin' et x3 = machin''

Je veux dire que si vous utilisez la trigonométrie, alors la solution n’est pas algébrique c’est-à-dire que vous n’avez pas résolu le problème par l’algèbre parce que la trigonométrie, ce n’est pas l’algèbre.

Envoyé par Médiat

Pourquoi vous restreindre à des équations à coefficients entiers (pure curiosité de ma part) ?

Parce que la question est ainsi posée traditionnellement. Je ne me suis même pas posé la question, l’expression sonne dans ma tête sous cette forme.

http://mpsiddl.free.fr/articles.php
http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-...OE_CAUCHY_1_10

Il est vrai que ça ne change pas grand-chose s’ils sont réels.

Envoyé par Médiat

Que reprochez-vous aux méthodes suivantes :

• Cardan (16ième siècle)
• Sotta (20ième siècle)

Cardan, il n’a fait que recopier la formule de Tartaglia qui est le vrai inventeur de la solution. Mais comme Cardan a été le premier à la faire imprimer (contrairement à sa promesse), la solution de Tartaglia est connue sous le nom de Cardan. Il est d’ailleurs coutumier du fait.

Je ne sais pas mettre en exponentiation, donc a2 signifie a au carré.

La formule de Cardan est incomplète, si r=b/a, s=c/a et t=d/a, on calcule p=s-r2/3 et q=2r3/27-rs/3+t, dans ces conditions la formule ne fonctionne que pour (q/2)2+(p/3)3>=0. Si ce discriminant est négatif, cas qu’on appelle casus irreductibilis, on complète par la formule de Vieta mais cette solution est trigonométrique.

Je reproche donc soit que la solution est incomplète, soit qu’on utilise la trigonométrie dans le casus irreductibilis.

Je ne connais pas Sotta. C’est à étudier. Merci à vous de me l’avoir signalé.

À bientôt
Gilles

[henderson]

Dire que "x" puisse valoir "truc" relève du "pointillisme" et non du "cubisme"...

[Médiat]

Envoyé par Gilles Louïse

cette solution est trigonométrique.

J'y vois la racine cubique d'un nombre complexe, de la même façon que dans l'équation du 2nd degré, il y a une racine carrée, je n'éprouve pas le besoin de faire apparaître de la trigonométrie ici (même si elle autorise avec beaucoup d'élégance à trouver des valeurs numériques)

[Gilles Louïse]

Envoyé par Médiat

J'y vois la racine cubique d'un nombre complexe

C’est exact mais en général on présente le casus irreductibilis sous forme trigonométrique.

On ne peut pas mettre sur un même plan l’équation du deuxième degré avec celle du troisième. En effet, on utilise les complexes dans l’équation du second degré parce que les solutions sont complexes. Sinon, quand les solutions sont réelles, on l’exprime sous forme réelle. C’est pourquoi la solution est loyale et définitive.

Or, le casus irreductibilis de l’équation du troisième degré est le cas particulier où les trois racines sont réelles, la courbe coupe trois fois l’axe des x. Il est donc déloyal de passer par les complexes pour exprimer les solutions réelles, ce n’est d’ailleurs que de la trigonométrie déguisée.

Comme il y a toujours au moins un solution réelle, comme c’est le cas de tous les degrés impairs, puisque la courbe va de moins l’infini à plus l’infini ou l’inverse, on aimerait avoir en fonction des coefficients cette solution réelle. À la limite cette seule solution suffirait à résoudre intégralement le problème car alors, pour une équation donnée, si r est cette solution réelle (puisqu’il en existe toujours au moins une), on pourra diviser l’équation cubique par x-r, retombant ainsi par factorisation à une équation du deuxième degré qu’on sait résoudre.

Si l’utilisation des complexes est légitime si les racines sont complexes (comme c’est le cas l’équation du deuxième degré), l’utilisation des complexes quand les racines sont réelles est déloyal et n’est qu’un tour de passe-passe.

C’est en ce sens qu’on peut considérer le problème comme algébriquement non résolu. Le seul livre où j’ai eu le bonheur de lire cette phrase était dans un livre de Félix Lucienne. Je ne suis pas en mesure de vous donner les références mais ça doit être très facile à retrouver.

À bientôt
Gilles

[Médiat]

Envoyé par Gilles Louïse

Il est donc déloyal de passer par les complexes pour exprimer les solutions réelles

Bien, il ne me viendrait pas à l'esprit de vous reprocher ce genre de vision, personnellement je n'y vois qu'un zeste d'élégance.

Je vous rappelle que les nombre réels ne sont pas algébriquement clos, contrairement au nombre complexes, il me paraît donc naturel que les problèmes algébriques se résolvent dans cet ensemble.

Que pensez-vous de la démonstration du grand théorème de Fermat, par Andew Wiles, qui passe par de la géométrie algébrique ?

Vous parlez sans doute de Lucienne Félix, non ?

[Gilles Louïse]

Envoyé par Médiat

Bien, il ne me viendrait pas à l'esprit de vous reprocher ce genre de vision, personnellement je n'y vois qu'un zeste d'élégance.

Disons qu’en mathématiques, on essaie en général d’utiliser un matériel minimal.

Envoyé par Médiat

Je vous rappelle que les nombres réels ne sont pas algébriquement clos, contrairement aux nombres complexes, il me paraît donc naturel que les problèmes algébriques se résolvent dans cet ensemble.

L’argument est intéressant. Mais il a un doux relent d’aposteriorique. Je ne crois pas que vous l’eussiez émis si on savait effectivement rester dans les réels quand il appert clairement que les solutions sont réelles.

Envoyé par Médiat

Que pensez-vous de la démonstration du grand théorème de Fermat, par Andew Wiles, qui passe par de la géométrie algébrique ?

Je ne l’ai que survolée, c’est assez magnifique d’avoir vaincu pareille difficulté. J’espère ne pas me tromper et qu’on parle bien de an+bn=cn. J’employais plutôt le mot de conjecture. Mais bon, peu importe, je crains aussi que nous changions de sujet.

Envoyé par Médiat

Vous parlez sans doute de Lucienne Félix, non ?

Oui. C’est vrai que c’est une femme mais dans mon édition le nom de famille était écrit en premier. J’ai lu cette phrase dans un de ses livres, elle m’est restée car j’ai apprécié cette honnêteté, c’est si rare. Il doit être tout à fait facile à retrouver.

À bientôt
Gilles

[Médiat]

Envoyé par Gilles Louïse

Disons qu’en mathématiques, on essaie en général d’utiliser un matériel minimal.

Dans les hypothèses, sans aucun doute, dans l'outil, je ne ressens pas cela comme une obligation.

Je vous donne un exemple que j'aime bien, le nième nombre de la suite de Fibonacci (qui est un nombre entier, bien sur) s'exprime par :
(1/rac(5))[((1+rac(5))/2)^n - ((1-rac(5))/2)^n]
On utilise 3 fois la racine de 5 qui n'est même pas un rationnel pour trouver un entier : superbe ! Et bien plus pratique que de calculer toute la suite jusqu'au nombre qui nous intéresse !

Envoyé par Gilles Louïse

L’argument est intéressant. Mais il a un doux relent d’aposteriorique. Je ne crois pas que vous l’eussiez émis si on savait effectivement rester dans les réels quand il appert clairement que les solutions sont réelles.

Je pense que si, chercher des solutions algébriques me paraît plus naturel dans un corps algébriquement clos, même si on désire se rajouter des contraintes : les équations diophantiennes qui sont des équations à coefficients entiers et dont on cherche des solutions entières, n'utilisent pas que les nombres entiers dans la recherche de solution, le plus bel exemple est le grand théorème de Fermat (il s'agit bien de a^n+b^n=c^n) qui utilise de la géométrie algébrique pour résoudre un problème d'arithmétique (il me semble donc que nous sommes bien dans le sujet, généralisé, certes, mais c'est un travers de mathématicien).

Le grand Théorème de Fermat n'est plus une conjecture depuis que Wiles l'a démontré, et que la communauté mathématique a accepté sa démonstration.

[Médiat]

Envoyé par Gilles Louïse

La formule de Cardan est incomplète, [...] la formule de Vieta mais cette solution est trigonométrique.

Question de pure curiosité, pourquoi écrivez-vous Cardan qui est une graphie francisé du nom de Girolamo (ou Gerolamo) Cardano qui était italien, et Vieta qui est la graphie italianisé du nom de François Viète qui était français ?

[Gilles Louïse]

Envoyé par Médiat

Question de pure curiosité, pourquoi écrivez-vous Cardan qui est une graphie francisé du nom de Girolamo (ou Gerolamo) Cardano qui était italien, et Vieta qui est la graphie italianisé du nom de François Viète qui était français ?

C’est vous-même qui avez parlé de Cardan en premier.

Cela dit, ce grand mathématicien est plutôt connu sous ce nom francisé. De toute façon, sa notoriété est la conséquence d’une tricherie, c’est Tartaglia qui a trouvé la solution de l’équation cubique mais les livres de mathématiques persistent à citer Cardan.

Pour Viète, tout dépend des livres que vous consultez. On peut l’appeler François Vieta :
http://mathematica.ludibunda.ch/mathematicians11.html
http://www.mathematik.ch/mathematiker/vieta.php

On peut l’appeler François Viète :
http://www.col-camus-soufflenheim.ac...?IDP=296&IDD=0
http://www.france-pittoresque.com/perso/44b.htm

En principe, je m’inquiète plus du contenu du discours que des nationalités des uns et des autres. À propos de son ami Peter Gast, qui est déjà un pseudonyme probablement inventé par Nietzsche, ce dernier, dans un hommage appuyé, italianisera son nom en parlant de son maître Pietro Gasti.

À bientôt
Gilles

[shadowmoon]

Gilles Louïse, j'ai une question à vous poser : pourquoi avoir poser cette question dans le sous-forum "politique" de la taverne ?

[Gilles Louïse]

Envoyé par shadowmoon

Gilles Louïse, j'ai une question à vous poser : pourquoi avoir poser cette question dans le sous-forum "politique" de la taverne ?

C'est une erreur de ma part, j'espérais que le modérateur change l'endroit du message. J'ai cliqué "nouvelle discussion" sans savoir que j'étais dans "Politique". J'ai d'ailleurs eu du mal à le retrouver, je croyais que ça n'avait pas marché.

À bientôt
Gilles

[Eric Sigoillot]

Ah bah je l'avais laissé là parce que je pensé que c'était volontaire du fait de l'éventuel aspect polémique de la question.

Le mal est réparé

Sinon, ne pas hésiter à envoyer un MP à un modérateur pour qu'il se charge d'un déplacement.

@++

[heid]

parceque c'est aussi ch.. que la politique.

[Gilles Louïse]

Envoyé par heid

parceque c'est aussi ch.. que la politique.

Cette opinion ne vous honore pas, on ne peut pas qualifier ainsi ce qui est du domaine de la pensée.

Si les mathématiciens sont admirables, c’est qu’ils ne renient pas leur passé. Ils savent que chaque époque a ajouté de nouvelles notions, de nouvelles possibilités, sans qu’il y ait à avoir honte d’un temps où l’on en savait moins. A–t-on jamais vu un mathématicien renier Euclide ?

Or, il est bien d’autres domaines où l’on évite de regarder en arrière, où l’on manque de sérénité quant aux premiers bégaiements. Comme je ne veux pas entrer dans une polémique, les lecteurs n’auront qu’à chercher eux-mêmes ces domaines moins sereins.

D’ailleurs, quand il manque un petit lien à une démonstration mathématique nouvelle, loin de critiquer une conclusion possiblement fautive, toute la communauté se met au service de la vérité et cherche à l’établir. Voilà bien une attitude spontanément amicale qu’on ferait d’adopter dans d’autres disciplines.

À bientôt
Gilles

[Médiat]

Envoyé par Gilles Louïse

A–t-on jamais vu un mathématicien renier Euclide ?

Attention, cette phrase peut être mal interprétée par des non-mathématiciens, donc je précise que les géométries non-euclidiennes ne sont pas des reniements d'Euclide sur le plan purement mathématiques, la seule chose remise en question est la notion de vérité qui est remplacée par la notion de validité (un raffinement qu'Euclide n'eût point compris, je suppose).

Envoyé par Gilles Louïse

D’ailleurs, quand il manque un petit lien à une démonstration mathématique nouvelle, loin de critiquer une conclusion possiblement fautive, toute la communauté se met au service de la vérité et cherche à l’établir. Voilà bien une attitude spontanément amicale qu’on ferait d’adopter dans d’autres disciplines.

Une illustration récente : le grand théorème de Fermat, Andrew Wiles ayant reçu l'aide de la communauté mathématique après sa première présentation qui était fautive.