Plusieurs solutions à ton problème :
1- Vérifier avant d'écrire un nouveau fichier si le fichier existe.
Si le fichier existe déjà tu incrémentes le nom , jusquà trouver un nom disponible.
Tu te retrouvera donc avec des fichier du genre :
20160930_monnom.ext
20160930_monnom_2.ext
etc ...
2- Ajouter une notion de temps à ton fichier
Au lieu de juste utiliser la date , utilise par exemple le temps en milliseconde :
long time= System.currentTimeMillis();
Tes fichier seront du type : 1475245841000_monnom.ext
3- Utiliser un identifier unique
String uniqueID = UUID.randomUUID().toString();
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