Discussion :

[lintuna]

Bonjour,

Je ne trouve pas comment procéder, avec Maple, pour obtenir les conditions permettant de résoudre un système linéaire.

Supposons par exemple que je veuille résoudre [x+2*y-z = a, 2*x-3*y+z = b, 4*x+y-z = c]C'est possible, à condition que 2a+b-c=0 ; j'aimerais que Maple trouve cette condition 2a+b-c=0.

Si je tape solve([x+2*y-z = a, 2*x-3*y+z = b, 4*x+y-z = c], [x, y, z]), je récupère une réponse vide [].

Comment pourrais-je procéder pour obtenir 2a+b-c=0 ?
(et ensuite la solution x,y, z dans ce cas-là)

Merci d'avance pour votre aide

[phryte]

Bonjour,
En faisant -y dans la troisième équation :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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restart;
> eqns:={x+2*y-z=a, 2*x-3*y+z=b, 4*x-y-z=c};
> s:=solve(eqns,{x,y,z});
>  
 
    eqns := {x + 2 y - z = a, 2 x - 3 y + z = b, 4 x - y - z = c}
 
 
s := {y = a + 1/2 b - 1/2 c, z = 5/3 a + 3/2 b - 7/6 c,
 
    x = 2/3 a + 1/2 b - 1/6 c}

[Prof]

Bonjour.

Le problème posé est le suivant : lorsque le système linéaire n'est pas de Cramer, comment trouver la condition sur le second membre pour qu'il ait une solution.

D'abord, on peut se douter que le système n'est pas de Cramer lorsque MAPLE ne retourne pas de solution, comme c'est le cas ici.

Il est alors facile de le vérifier avec MAPLE :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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> with(linalg) :
> A := matrix(3,3,[1,2,-1,2,-3,1,4,1,-1]);
 
                              [1   2  -1]
                         A := [2  -3   1]
                              [4   1  -1]
 
> det(A);
 
                                  0

Cela confirme que les équations sont liées.

Il faut maintenant trouver une relation de dépendance linéaire des équations et appliquer cette combinaison linéaire au second membre.

La méthode que je propose ci-dessous est inspirée de la méthode qui donne l'équation d'un plan dans R^3 lorsqu'on connait trois points de ce plan:
construire une matrice 4x4 avec une première ligne de 1, puis les 3 équations.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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> B := matrix(4,4,[1,1,1,1,1,2,-1,a,2,-3,1,b,4,1,-1,c]);
 
                           [1     1     1    1]
                           [1     2    -1    a]
                      B := [2    -3     1    b]
                           [4     1    -1    c]
 
> det(B);
 
                          22 a - 11 c + 11 b

La condition cherchée est det(B) = 0.

En simplifiant par 11, on retrouve bien la condition : 2a+b-c = 0.

[miniclip5]

REBOND SUR UNE SURFACE HORIZONTALE
1. Créez une animation de 9 images montrant une boule de billard de rayon 1 qui se déplace 8 fois (à vitesse constante), débutant centrée en A(-5 , 17) et finissant par toucher le côté de la table qui correspond à l'axe des x, en x=7, c'est-à-dire qu'au temps t=8, le point de contact entre la boule et la bande (l'axe des x) se fait en (7 , 0). Commencez par construire l’équation paramétrique d'une droite avec A comme point de départ. Le vecteur directeur correspond au déplacement à chaque image...

Comme dans l'exemple précédent, tracez un carré, présent mais immobile pendant toute l'animation, qui montre l'endroit "visé" par la boule, c'est-à-dire que le carré encadrera parfaitement la balle au temps d'impact t=8.

2. Ajoutez, à l'animation de la question précédente, 8 autres images qui montrent la trajectoire de la boule après le rebond. Il s'agit d'une collision parfaitement élastique (la vitesse scalaire ne change pas). On pourrait dire
(angle d'incidence)=(angle de réflexion),
mais ne calculez pas d'angles, c'est beacoup trop compliqué! Vous pouvez trouver le vecteur vitesse après rebond par simple logique! (Qu'arrive-t-il à la vitesse horizontale? À la vitesse verticale?)

Il va vous falloir faire une deuxième boucle for pour les 8 nouvelles images, débutant par: for t from 9 to 16. Le display final construira une animation de 17 images au total. N'oubliez pas d'indenter votre programme convenablement.


Vous devez remettre sur LÉA un document Maple nommé Atelier1_eq##.mw, où ## représente votre numéro d'équipe,contenant seulement la programmation pertinente à cet atelier (pas les exercices et exemples vus plus haut). Avant la remise, assurez-vous que votre programme fonctionne sans erreur (en particulier, aucun message d'erreur rose) quand on le fait exécuter de haut en bas avec le bouton [!!!]. Ensuite,
Édition->Enlever la sortie->De la feuille de travail,
sauvegarder puis remettre sur LÉA.

Le fichier devra comporter une en-tête contenant le nom des équipiers (max. 2 personnes par équipe) et le numéro d'équipe. Aucun retard ne sera toléré. Cet atelier vaut 3 % de la note de la session.