Discussion :

[cjacquel]

Bonjour,

Je voudrais savoir s'il est possible d'obtenir les parrallèles à une courbe Spline ?

Merci
Christophe,

[anapurna]

salut,

ma première réponse sans réfléchir serait de te dire non
vu qu'une spline n'est pas une droite mais une courbe.

maintenant il existe des méthode intéressante afin de trouvé des droites pertinentes pour les courbes
une fois obtenue l'une de ces droite tu peut très bien créer des parallèle à celle-ci passant par des points remarquable

[souviron34]

Je voudrais savoir s'il est possible d'obtenir les parrallèles à une courbe Spline ?

La reponse me semble strictement et positivement non..

Une spline est une courbe (presque tout le temps de degré 2) qui est continue par morceaux (continuité des dérivées seconde et première aux points de référence).

Forcément par définition si on pouvait trouver une parallèlle à la courbe ENTRE 2 points de reference, à cause de la continuité des dérivées il est impossible que à proximité ou au passage de ces points cela soit parallèlle...

[tbc92]

Je pense que la question est mal formulée. Et que cjacquel veut en fait étendre la définition de parallèle.
Prenons par exemple un cercle C0 quelconque. Si on cherche une 'parallèle' à ce cercle, on peut convenir que tout cercle ayant le même centre C1 est parallèle au cercle C0 .
En effet, tout point de C1 est à une distance fixe de C0.
Ce qui est un peu une définition de parallèle pour des droites : 2 droites D0 et D1 sont parallèles ssi la distance d'un point de D0 à la droite D1 est constante.

Et si on part de cette définition, il y a une infinité de parallèles à toute spline.
Mais construire ces parallèles, c'est plus compliqué.

[souviron34]

Et si on part de cette définition, il y a une infinité de parallèles à toute spline.
Mais construire ces parallèles, c'est plus compliqué.

Ben si c'est ça on parle alors d'une translation, non ??

Spline (mathematics) (Wiki)
Translation (géométrie) (Wiki)

(parce qu'en fait, avec ton cercle, c;est plutôt un zoom/dezoom, non ? (et éventuellement une rotation ))

Ou alors je comprend pas...

[tbc92]

Que nenni !

Si tu pars d'un carré de longueur L, (ok, un carré n'est pas une spline ... ), les points qui sont extérieurs à ce carré, et qui sont à une distance D de ce carré, ça forme une figure avec 4 segments, de longueur L, et 4 quarts de cercle, de centre les 4 sommets du carré, et de rayon D.

La parallèle au carré est donc une forme qui n'a pas vraiment de nom (un carré à coins arrondis)

Idem, si tu pars d'une ellipse, la parallèle telle que je la définis est une autre ellipse, mais d'excentricité différente.

Dans le cas particulier du cercle, c'est effectivement comme une homothétie.

Mais dans le cas d'une spline comme celle donnée sur ton lien https://en.wikipedia.org/wiki/Spline...x_segments.svg
Si je dessine une 'parallèle' qui soit en dessous de la spline , et à quelques milimètres /pixels de la spline d'origine, ca ressemblera effectivement à une translation.
Mais si au lieu de quelques millimètres, je veux la parallèle à 20 centimètres au dessous de la spline d'origine, alors j'obtiendrais quasiment une droite.

[souviron34]

Que nenni !
....
La parallèle au carré est donc une forme qui n'a pas vraiment de nom (un carré à coins arrondis)
...
Mais si au lieu de quelques millimètres, je veux la parallèle à 20 centimètres au dessous de la spline d'origine, alors j'obtiendrais quasiment une droite.

Ah mais c'est pas du tout la meme chose.. !!



La tu parles de faire une courbe (ou polygone) à distance constante... Dans ce cas (on en a d'ailleurs déjà discuté ailleurs) ça peut effectivement supprimer des points, arrondir des angles, etc...



Mais je n'appellerais pas ça "paralléllisme" (et en plus je pense qu'on est vraiment HS par rapport à la demande du PO )

[tbc92]

Un dessin vaut mieux qu'un long discours, et oui, c'est exactement ce que je cherchais à exprimer.

Mais pas sûr qu'on soit si éloigné que cela de la demande initiale.

[Flodelarab]

Bonjour

La reponse me semble strictement et positivement non..

Une spline est une courbe (presque tout le temps de degré 2) qui est continue par morceaux (continuité des dérivées seconde et première aux points de référence).

Forcément par définition si on pouvait trouver une parallèlle à la courbe ENTRE 2 points de reference, à cause de la continuité des dérivées il est impossible que à proximité ou au passage de ces points cela soit parallèlle...

J'ai beau chercher sur internet, je ne comprends pas ce qui permet ce ton péremptoire. Je ne suis pas persuadé qu'une spline accorte n'ait pas de parallèles.

Ben si c'est ça on parle alors d'une translation, non ??

Dans la vidéo suivante, la courbe intérieure est parallèle à la courbe extérieure. L'une est-elle la translation de l'autre ? Non.

https://upload.wikimedia.org/wikiped...ng_vehicle.ogv


Ps: @Administateurs: Bizarre qu'on puisse insérer des vidéos youtube et pas des vidéos wikimedia commons.

[souviron34]

Je ne suis pas persuadé qu'une spline accorte n'ait pas de parallèles.

J'ai beau chercher sur internet, je ne trouve pas ce qu'est une spline "accorte"

Dans la vidéo suivante, la courbe intérieure est parallèle à la courbe extérieure. L'une est-elle la translation de l'autre ? Non.

Mais c'est une courbe fermée... Comme la polyligne que j'ai montrée plus haut, dire "dessiner une courbe dont tous les points sont à égale distance de la courbe de référence" me semble être une sacrée extension du terme de "paralléllisme", non universellement admise, me semble-t-il...

Peut-être que je me trompe, je le veux bien, mais ça ne me semble pas partie de la définition... (d'ailleurs , même dans l'article Wiki anglophone qui est plus complet que le francophone, et où figure un dessin de "courbes parallèlles", dans le texte et les explications on se réfère toujours à 2 droites, jamais à 2 courbes... L'exemple du dessin n'est suivi d'aucune explication, référence, ou quoi que ce soit de cet ordre.. Même si le dessin y figure et fait comprendre le principe, le terme "parallélisme" n'est visiblement pas plus utilisé par eux en maths que par moi ).


Si maintenant on prend cette "définition", oui on peut trouver... (d'ailleurs mon algo utilisé ci-dessus pour les lignes marche aussi pour les polygones ou les ensembles de lignes). Tu pourras d'ailleurs noter que j'avais précisé qu'on pourrait trouver une parallèlle "entre les points de référence"...


Mais ma réponse "péremptoire" venait de la définition universellement admise de ce qu'est une spline et de ce qu'est le paralléllisme... sans plus et sans extension ni interprétation... "stricto sensu"...




(le PO n'a d'ailleurs pas réagi pour nous préciser ce qu'il souhaiterait... En vacances peut-être ? )

[tbc92]

N'allez pas vous écharper là-dessus.

CJacquel a posé une question ambigüe. Dans quel contexte est-il, quel est le pourquoi du comment de sa question ?

C'est lui (ou elle) qui saurait répondre à ces questions. Mais après avoir posé sa bombinette, il a disparu.

[Flodelarab]

Mais c'est une courbe fermée... Comme la polyligne que j'ai montrée plus haut, dire "dessiner une courbe dont tous les points sont à égale distance de la courbe de référence" me semble être une sacrée extension du terme de "paralléllisme", non universellement admise, me semble-t-il...

Légère mauvaise foi quand même, dans la mesure où cette définition est celle qu'on trouve sur internet, quand on cherche "courbes parallèles", au point de rentrer dans l'encyclopédie en ligne, et sachant que tu n'en as pas de meilleure.


Le plus instructif est de savoir que la parallèle à une ellipse n'est pas une ellipse !!!

[wiwaxia]

Bonjour,

La réponse paraissait si évidente que je ne m'y suis d'abord pas arrêté, et les échanges découverts ce matin sont vraiment surprenants.
tbc92 a pressenti la notion mais n'a pas su l'exprimer

Je pense que la question est mal formulée. Et que cjacquel veut en fait étendre la définition de parallèle.
Prenons par exemple un cercle C0 quelconque. Si on cherche une 'parallèle' à ce cercle, on peut convenir que tout cercle ayant le même centre C1 est parallèle au cercle C0 .
En effet, tout point de C1 est à une distance fixe de C0.
Ce qui est un peu une définition de parallèle pour des droites : 2 droites D0 et D1 sont parallèles ssi la distance d'un point de D0 à la droite D1 est constante.

Et si on part de cette définition, il y a une infinité de parallèles à toute spline.
Mais construire ces parallèles, c'est plus compliqué.

Deux courbes (C₁) et (C₂) sont parallèles et distantes de (h) s'il est possible de joindre tout point de l'une à un point de l'autre telle sorte que le segment obtenu (M₁M₂):
a) présente une longueur fixe (h), et ...
b) soit orthogonal en chacune de ses extrémités aux tangentes correspondantes (T₁, T₂).
Il en résulte que les deux centres locaux de courbure (G₁, G₂) sont confondus.

Allez, encore un effort, camarades:
C₂ se déduit de C₁ par la relation: M₂ = M₁ + h*N₁

Il n'y a pas que Wikipédia dans la vie.

http://www.mathcurve.com/courbes2d/p...arallele.shtml

http://www.mathcurve.com/courbes3d/p...arallele.shtml

http://serge.mehl.free.fr/anx/cbe_paralel.html

http://mathworld.wolfram.com/ParallelCurves.html

[souviron34]

Légère mauvaise foi quand même, dans la mesure où cette définition est celle qu'on trouve sur internet, quand on cherche "courbes parallèles", au point de rentrer dans l'encyclopédie en ligne, et sachant que tu n'en as pas de meilleure.

La réponse paraissait si évidente que je ne m'y suis d'abord pas arrêté, et les échanges découverts ce matin sont vraiment surprenants.

Ca me fait penser au jeu "Mot de passe"..

On voit très bien qu'il y a des fois ça marche quand les 2 personnes pensent dans la même direction, mais que ça ne marche pas du tout quand un mot fait penser l'autre à tout autre chose...

Visiblement c'est ce qui s'est passé....

Pour moi, vu que le PO utilisait et le mot "parallèle" et le most spécifique "spline", je n'ai pas pensé à "à distance constante".. (et vu l'image insérée ci-dessus qui est un algo que j'avais fait, j'aurais compris )

[wiwaxia]

Bonjour,

Il est effectivement remarquable qu'une question pourtant simple et clairement énoncée

... Je voudrais savoir s'il est possible d'obtenir les parallèles à une courbe spline ...

ait produit un tel trouble parmi les intervenants, et suscité autant de controverses; le reproche en a été adressé (injustement, peut-être) à l'auteur de la question

... Je pense que la question est mal formulée. Et que cjacquel veut en fait étendre la définition de parallèle ...
CJacquel a posé une question ambigüe. Dans quel contexte est-il, quel est le pourquoi du comment de sa question ?
C'est lui (ou elle) qui saurait répondre à ces questions. Mais après avoir posé sa bombinette, il a disparu.

... et le silence de ce dernier n'a rien arrangé.

La réponse est (tout le monde est d'accord là-dessus, j'espère): oui, quelle que soit la nature de la courbe, pourvu que presque partout celle-ci soit continue et admette une tangente (on exclut évidemment le cas pathologique des fractales, et autres monstres).
Il y avait cependant une préoccupation latente dans la question posée, sans doute liée à l'extraordinaire variété de forme observée dans le cas des splines; une demande neutre eût été formulée:
Est-il possible d'obtenir les parallèles à une courbe quelconque ?
tandis que la question réellement exprimée s'apparentait plutôt à:
Est-il possible d'obtenir les parallèles à une courbe, même dans le cas d'une spline ?
ce qui n'a pas manqué de stimuler la diversité des point de vue.

Flodelarab a répondu implicitement en produisant une animation qui montre la nature purement géométrique du problème:

... Dans la vidéo suivante, la courbe intérieure est parallèle à la courbe extérieure ...
https://upload.wikimedia.org/wikiped...ng_vehicle.ogv

de même tbc92, qui a décrit un exemple, mais en s'égarant par la suite dans des détails:

... Si tu pars d'un carré de longueur L, (ok, un carré n'est pas une spline ... ), les points qui sont extérieurs à ce carré, et qui sont à une distance D de ce carré, ça forme une figure avec 4 segments, de longueur L, et 4 quarts de cercle, de centre les 4 sommets du carré, et de rayon D.

La parallèle au carré est donc une forme qui n'a pas vraiment de nom (un carré à coins arrondis)

Idem, si tu pars d'une ellipse, la parallèle telle que je la définis est une autre ellipse, mais d'excentricité différente ...

... qu'il peut être intéressant de reprendre.
# un carré n'est pas une spline: c'est une spline fermée de continuité minimale (C₀) et du 1^er degré, pour laquelle les coordonnées sont fonctions affines par morceaux d'un paramètre (t). Voir ici
# ça forme une figure avec 4 segments, de longueur L, et 4 quarts de cercle, de centre les 4 sommets du carré, et de rayon D: détail bien vu - les points anguleux (où il y a discontinuité des tangentes) ne sont pas incompatibles avec l'existence des courbes parallèles; la difficulté locale se contourne (c'est le cas de le dire !) aisément en envisageant le cas limite d'un arc de cercle dont le rayon tend vers zéro.
# si tu pars d'une ellipse, la parallèle telle que je la définis est une autre ellipse, mais d'excentricité différente : la parallèle à une ellipse n'est pas une autre ellipse - songer au cas limite une ellipse totalement aplatie, et réduite au segment (F₁F₂) joignant les foyers; c'est confondre les familles de courbes parallèles avec le cas plus général des familles de courbes paramétrées sans enveloppe, ici celles des ellipses homofocales.

C'est moins l'affirmation catégorique de souviron34 que l'argumentation employée qui m'a laissé perplexe:

La reponse me semble strictement et positivement non..

Une spline est une courbe (presque tout le temps de degré 2) qui est continue par morceaux (continuité des dérivées seconde et première aux points de référence).

Forcément par définition si on pouvait trouver une parallèle à la courbe ENTRE 2 points de référence, à cause de la continuité des dérivées il est impossible que à proximité ou au passage de ces points cela soit parallèle ...

Passons sur le faux problème des discontinuités de pente, déjà évoqué plus haut. C'est la notion de continuité par morceaux qui m'a intrigué, et contraint de me reporter à mes chères (et lointaines) études: si l'on dit qu'une fonction est "continue par morceaux" sur son domaine de définition, c'est précisément parce qu'on y trouve un certain nombre de discontinuités, présentement incompatibles avec les conditions minimales de raccordement imposées lors de la construction d'une spline.
Voir A et B ( chap 20.2.2 ) - N'y a-t-il pas là un sérieux contresens ? D'autant que la construction d'une spline recourt par ailleurs à des fonctions "définies par morceaux" (on dit aussi "par parties") sur un certain nombre d'intervalles contigus ... Voir 1 , 2 , 3 et 4 .

Dernier avatar (nettement plus restrictif) de la question posée, qui aurait pu se glisser dans l'esprit du lecteur: - OK, je m'arrête -
Peut-on obtenir des splines parallèles à une spline donnée ? ou encore:
Exixte-t-il des splines parallèles entre elles ?
Non, pour une raison relativement simple: si la première courbe (C₁) est une spline de degré (n), les coordonnées cartésiennes de ses points s'expriment à l'aide de polynômes de degré (n) - ou au plus égal à (n) - et le passage de cette courbe à sa parallèle (C₂) conduit à un résultat irréductible à un polynôme à nombre fini de termes, et ne relevant que d'un développement en série.
On a en effet pour la position du premier point: M₁ = (x, y) = (p_(t), q_(t)) ,
le vecteur tangent correspondant: T₁ = (x', y') = (p'_(t), q'_(t)) ,
le vecteur unitaire normal: N₁ = (x'² + y'²)^(-1/2) * (-y', x') { sens arbitraire }
et enfin pour la position du point correspondant de la courbe (C₂):
M₂ = (x₂, y₂) = M₁ + h*N₁ = (x, y) + (s * h / (x'² + y'²)^1/2) * (-y', x') avec s = ±1 .
C'est pour la même raison qu'une spline ne peut se confondre rigoureusement avec un arc de cercle ou d'hyperbole.

[souviron34]

Dernier avatar de la question posée, qui aurait pu se glisser dans l'esprit du lecteur: :

Peut-on obtenir des splines parallèles à une spline donnée ? ou encore:
Exixte-t-il des splines parallèles entre elles ?
Non, pour une raison relativement simple: si la première courbe (C₁) est une spline de degré (n), les coordonnées cartésiennes de ses points s'expriment à l'aide de polynômes de degré (n) - ou au plus égal à (n) - et le passage de cette courbe à sa parallèle (C₂) conduit à un résultat irréductible à un polynôme à nombre fini de termes, et ne relevant que d'un développement en série.

C'est pas ce que je signalais dans mon post ???

Tu l'exprimes d'une autre manière, mais c'est (en tous cas il me semble !!!) exactement ce que je disais...



Les coefficients seront différents, et par conséquent 2 splines passant par les mêmes points ne peuvent pas être parallèlles.. (puisqu'elles passent par les mêmes points de contrôle)

[wiwaxia]

C'est pas ce que je signalais dans mon post ???
Tu l'exprimes d'une autre manière, mais c'est (en tous cas il me semble !!!) exactement ce que je disais ...

Tu as réagi au quart de tour, alors que j'en étais encore à la correction de mon message. J'ai relu par scrupule l'ensemble des échanges, qui était assez long, pensant que quelque chose m'avait échappé; je n'ai rien trouvé d'essentiel.
Je m'étais simplement proposé de revenir sur certaines remarques collatérales, dont certaines me paraissaient justes et pertinentes.

Venons-en à ce qui coince.

... Les coefficients seront différents, et par conséquent 2 splines passant par les mêmes points ne peuvent pas être parallèles.. (puisqu'elles passent par les mêmes points de contrôle)

Je ne vois pas du tout pourquoi une courbe (qu'il s'agisse ou non d'une spline) parallèle à la courbe de référence ci-dessous représentée devrait passer par les points de contrôle: je dirais même que c'est tout à fait contraire à l'intuition la plus élémentaire, quelle que soit par ailleurs la définition que l'on se donne du parallélisme (par exemple, histoire de varier un peu, l'enveloppe d'un cercle de diamètre (d) roulant sur la courbe de référence).

Une seule courbe parallèle passe effectivement par tous les points: la spline de départ, qui correspond au cas trivial d'une distance (d) nulle, donc de deux parallèles superposées. Ce n'est vraiment pas un scoop.

Tu ne démords pas de l'à-priori selon lequel la seconde spline devrait être étroitement apparentée à la première, au point d'être construite sur les mêmes points de contrôle.

Or rien n'est dit de tel: envisager qu'une parallèle (C₂) à une courbe initiale (C₁) puisse elle aussi être une spline, c'est supposer seulement qu'il existe un nombre fini de points (P'₁, P'₂, ... P'_l) - à priori différents des précédents (P₁, P₂, ... P_k) - et sur lesquels il est possible de construire la courbe en question, à l'aide de nouveaux polynômes.

Exemples (auxquels j'aurais dû penser plus tôt): des transformation géométriques telles que translation, affinité, homothétie, rotation transforment toute spline (C₁) en une autre (C₂); mais les (k) points de contrôle de la première (P_{i (0<i<=k)}) n'en seront pas moins remplacés par des nouveaux (P'_{i (0<i<=k)}), en nombre équivalent, et déduits des précédents par la même transformation:
si C₂ = F(C₁) , alors P'_i = F(P_i) pout tout (i) de [1 ; k] .
La transformation en cause, de nature matricielle, conserve le degré des polynômes, et les nouveaux se déduisent simplement des précédents (par addition d'une constante ou combinaison linéaire à coefficients constants).

L'exemple fourni par tbc92 montre que la parallèle (C₂) à la spline (C₁) n'en est elle-même pas une; c'est l'illustration géométrique, sur un cas particulier, de l'impossibilité d'exprimer les coordonnées des points de la seconde courbe par un développement polynômial à nombre fini de termes.

[Pascaltech]

Bonjour,

Je voudrais savoir s'il est possible d'obtenir les parrallèles à une courbe Spline ?

Merci
Christophe,

Bonjour,

Une spline est définie par des pôles (x,y,z) dans l'espace. Le degré de la spline est égale au nombre de pôles - 1. Les pôles des extrémités sont confondus avec les point d'extrémité de la courbe et correspondent aux valeurs u= 0 et u=1 de l'équation paramétrique représentant la courbe.
Une coordonnée est uniforme pour tous les pôles si cette courbe est contenue par un plan du référentiel.
Tous les pôles sont contenu par un même plan quelconque dans les autres cas.

Une courbe parrallèle a un sens dans un plan. Une courbe parrallèle d'une courbe tridimensionnelle n'est pas concevable.

Tracer une spline à une distance constante de la première impose d'augmenter son degré pour représenter la complexité demandée. De nouveaux pôles seront créés qui n'auront aucun rapport de coordonnées avec les pôles de la première courbe, hormis l'appartenance au plan contenant la première courbe. Lorsque le degré maximum est atteint (12 de mémoire, je n'ai pas trouvé la référence), le tracé parrallèle est représentée par plusieurs B-Splines ou courbes de Béziers.

Géométriquement parlant, ce tracé n'est pas exactement parrallèle, car l'ensemble des points ne sont pas à l'exacte distance de parralléléité. C'est une approximation.

La même approximation est réalisable pour des surfaces de Bézier.

Pour épilogue, les points composants la B-Spline peuvent être géométriquement connus par calcul (obtention des coordonnées x,y,z) mais n'existent pas. Ni lors de l'utilisation des données de définition paramétriques de la courbe, ni physiquement, hormis les points extrêmes confondus avec les pôles extrêmes( voir les surfaces de Coons).

L'invention de Monsieur Bézier a eu pour but de définir et de gérer simplement (en alègeant le calcul des ordinateurs) des formes gauches de carrosseries qui sont matérialisées par des machines d'usinage qui se déplacent suivant des coordonnées obtenues par interpolations des splines et selon leur précision. Donc les points composant les courbes des splines restent théoriques.