Discussion :

[zakuza]

Bonjour à tous,

Etant donné l'"expliquation" suivante.



Je ne comprend pas comment on parviens à ces résultats pour c1, c2 et n0. Est ce que quelqu’un aurait une démonstration ou sinon pourrait me dire quels outils mathématique faut-il utiliser pour en arriver à cette conclusion.
Car personnellement je ne parviens pas du tout à comprendre cet explication. Du coup même, si ce n'est pas indispensable, ça me laisse un peu sur ma fin.

Merci pour ceux ou celles qu prendront le temps de m'aider.

Bien à vous

[picodev]

Bonjour,
En soi ce n'est pas très compliqué. Visuellement quand tu représentes une fonction du genre f(n)=an²+bn+c avec a>0 tu obtiens une parabole. Plus a sera grand et «plus la parabole montera rapidement», de même, plus a sera petit «plus la parabole montera lentement». Du coup pour prouver que f(n) ∈ 𝛩(n²) il faut trouver deux paraboles, une qui monte moins vite que f(n) c₁n² et une qui monte plus vite c₂n². N'importe quelle valeur strictement inférieure à a convient pour c₁. Ici l'auteur prend c₁=a/4 car cela donne un n₀ simple à écrire. Il aurait pu tout aussi bien prendre c1=a/10⁹. Idem pour c₂ pour laquelle n'importe quelle valeur strictement supérieure à a convient comme 3a/4 ou a+1, … Le reste n'est que résolution d'inéquation pour trouver le bon n₀. Tu vas trouver une valeur n_c1 pour la parabole c₁n² à partir de laquelle cette parabole sera toujours en-dessous, et une valeur n_c2 pour laquelle la parabole c₂n² sera toujours au-dessus. La plus grande des deux valeurs te donne le n₀ à partir d'où l'encadrement est toujours vérifié.

[zakuza]

Ah merci je comprend mieux maintenant le principe en général. Donc en remplaçant c1 par a/4 on obtient une valeur n1 et en remplaçant c2 par 7n/4 on obtient n2 puis on choisit la plus grande valeur entre n1 et n2 pour obtenir un n0 qui fonctionne à tout les coups.

C'est de la que viens cette notation max dont je ne comprenais pas l'utilité

Par contre je ne parviens pas à calculer n1 ni n2 et je ne vois pas non plus pourquoi on doit multiplier par 2 la valeur maximum. Mais la ce sont mes bases en résolution d'équations qui sont à revoir ...

[zakuza]

J'ai finalement compris avec de l'aide la méthode utilisé pour majorer et minorer cet équation.

Il fallait en fait transformer la formule an² + bn + c de la manière suivante en divisant par an : 1 + b/an + c/an²

La fonction tend vers 1 pour n très grand. On a donc :

1 - e <= 1 + b/an + c/an² <= 1 + e

et également

1 - ( |b|/an + |c|/an² ) <=1 + b/an + c/an² <= 1 + |b|/an + |c|/an²

En choisissant e = 3/4 ,on obtient bien c1 = 1/4 et c2 = 7/4.

On a aussi |b|/(an) + |c|/(an²) <= 3/4 ou |b|/(an) <= 1/2 et |c|/(an²) <= 1/4

Ce qui donne au final :

|b|/(an) <= 1/2 => n = 2 * |b|/a

|c|/(an²) <= 1/4 => n² = 4 * |c|/a => n = 2 * racineCarre(|c|/a)

On prend donc 2 * le maximum entre (|b|/a,racineCarre(|c|/a) )