Discussion :

[Damlo07]

Bonjour,

J'ai un petit soucis en utilisant la fonction conv(,). Voici mon programme:

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clc;
close all;
 
u=@(x)heaviside(x);
v=@(x) exp(-2*x).*heaviside(x);
 
dx=1;
x=0:dx:120;
 
u_x=u(x);
v_x=v(x);
w=conv(v_x,u_x);
 
z=0:dx: (length(x)*2-2)*dx;
 
figure
hold on
 
plot(x,v_x,'b-',x,u_x,'g-')
plot(z,w,'r-')
plot(x,1/2*(1-exp(-2*x)).*heaviside(x),'y-')

A chaque essai (et ce pour différentes fonctions, intervalle et pas) Matlab me donne bien une réponse dont la forme est correcte (semblable au produit de convolution calculé à la main) mais il n'a pas la bonne échelle selon l'axe Y. Par exemple plus dx est petit (0,1 par example) plus le produit de convolution aura un maximum élevé ce que je n'arrive pas à expliquer.
Si vous compilez vous aurez: en vert et bleu les fct de départ, en rouge le produit de convolution calculé par matlab et en jaune la réponse exacte.

Lorsque l'on regarde ce que matlab fait on trouve que pour w(3) il a fait w(3)=u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(3) ce qui explique que lorsque mon pas diminue je trouve max(w) de plus en plus grand mais ça ne correspond pas à la définition du produit de convolution selon l'intégrale telle que décrit ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_convolution
Suis je entrain d'utiliser la mauvaise fonction? Ou le pas doit-il être fixé à une certaine valeur pour que cov(u,v) corresponde bien à l'intégrale?
Je me dis qu'il faut peut-être passer en fréquentiel par fourier puis produit scalaire puis transformée de fourier inverse pour revenir en temporel...


D'avance merci pour votre aide!

[Toeam]

Salut,

Je ne suis pas un expert, mais comme tu dis, ce résultat est "normal". Ce que calcule Matlab avec conv(), c'est le produit de convolution discret: conv(X(n),Y(n)) où n est une variable entière. Donc si tu changes ton pas, tu change tes fonctions X(n) et Y(n), et le résultat est différent.

Toi, tu recherches à calculer une approximation numérique d'un produit de convolution continu, conv(x(t),y(t)), ton approximation étant d'autant meilleure que tu réduis le pas numérique que tu utilises. Donc pour ça, tu dois prendre la formule du produit de convolution continu (avec l’intégrale et le dt), et regarder comment on fait un calcul numérique approché d'une intégrale. Le plus simple, et ce qui correspond probablement à ce que tu veux faire, c'est d'utiliser la méthode des rectangles. Dans ce cas, l'approximation de ton produit de convolution continue est simplement le produit de convolution discret de tes vecteurs, le conv(X(n),Y(n)) que tu calcules dans ton exemple, multiplié par le pas numérique que tu as choisi, dx dans ton cas je crois.

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figure; hold on;
color_list={'r','m','g'};
for id=1:3
 h=10^(-id);
 t=[-1:h:1];
 x=exp(-10*t.^2);
 y=double(abs(t)<=0.5);
 convcont_approx=h*conv(x,y,'same');
 if id==3
  hx=plot(t,x,'k-');
  hy=plot(t,y,'b-');
 end
 h_conv(id)=plot(t,convcont_approx,'-','color',color_list{id});
 conv_leg{id}=sprintf('conv(x(t),(y(t)) pour h=%.3f',h);
end
legend([hx hy h_conv],{'x(t)','y(t)',conv_leg{:}})
xlabel('t')