Discussion :

[manaiilhem]

onjour,
pour résoudre l'équation de la chaleur en 2D, j'ai transformé l'équation en systéme linéaire de la forme AX=b.
j'ai assayé de résoudre le systéme par l'utilisation de:
Bibliothèque LINALG (Fortran 90)
interfaçage f90 de LINPACK (partiel)

version 0.2 -- 14 Novembre 2003

(C) Édouard CANOT -- IRISA/CNRS

E-mail : Edouard.Canot@irisa.fr

src : ~ecanot/tools/fortran/numerical/linalg_f90/
________________________________________________________________________

Interfaçage fortran 90 pour quelques routines (basic) de 'linalg' :

- 'sgefa' : factorise (LU) une matrice carrée A

- 'sgeco' : idem 'sgefa', mais fournit en plus une estimation de rcond
(rcond = reciprocal condition number = 1/CN)

- 'sgesl' : résoud un système linéaire du type : A.x = b, la matrice A
ayant été factorisée (LU) au préalable

je fais le calcul de tous les coeficients de la matrice et le vectuer second membre .Ensuite je fais l'appel à la subroutine sgefa et sgesl pour résoudre mon systéme

Code fortran :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
call f90_geco (A, ipvt, rcond )
write(*,*) 'rcond=',rcond
call f90_gesl ( A, ipvt, vect )

mais j'ai tombé sur une matrice singuliére dont j'arrive pas à comprendre comment je trouve la solution.
j'ai bien vérifié que ma matrice est quelconque n'est pas définie positive ,creuse et à diagonale strictement dominante
svp aider moi à résoudre ce probléme par vos propositions et vous expériences.
merci

[Alexis.M]

Si ta matrice est singulière, tu peux toujours chercher une solution au sens des moindres carrés, c'est à dire trouver x qui miminise || Ax - b ||^2.

[manaiilhem]

j'ai pas bien compris votre réponse, prière de plus l'expliquer

[Aleph69]

Bonjour,

il y a deux réponses possibles selon ton problème :

1. si ton problème initial (équation de la chaleur 2D) est mal posé, alors il faut le régulariser au préalable (ajouter autant d'équations que nécessaire);

2. s'il est bien posé, tu dois aboutir à un système linéaire inversible et donc tu as fait une erreur quelque part (discrétisation, construction du système).

[manaiilhem]

j'ai bien vérifié que la matrice est à diagonal dominant cad inversible et malgré quand je lance le calcul ,j'ai eu le terme qui calcule le conditionnement de la matrice est de l'ordre de 10e-6.
je comprend rien

[Aleph69]

Ta matrice est inversible et son conditionnement vaut 10^6.
Il n'y a rien de choquant.
Quel est le problème?

[manaiilhem]

le conditionnement vaut 10^(-6) et pas 10^6.
un conditionnement inférieur à 0 cad une matrice mal conditionnée.
aussi les résultats sont insignificatives

[Aleph69]

La norme ||I|| de la matrice identité I vaut 1 quelque soit la taille de I et quelque soit la norme matricielle ||.|| choisie tant qu'elle est subordonnée à une norme vectorielle. Notons N la taille et considérons une matrice inversible A de taille N. Alors on a

1=||I||=||A*A^{-1}||<=||A||*||A^{-1}||.

Par conséquent, le conditionnement d'une matrice inversible est toujours supérieur à 1. Ce que tu calcules c'est le conditionnement réciproque (rcond), c'est-à-dire l'inverse du conditionnement. Quant à la significativité des résultats, elle n'est pas seulement déterminée par le conditionnement de la matrice mais également par l'algorithme et la précision machine. Je serais très surpris que l'erreur sur ta solution soit moins bonne que 1e-9 avec une factorisation LU.

[manaiilhem]

le rcond dont je calcul n'est le réciproque . dans ci dessous la définition de rcond selon le programme
rcond double precision
an estimate of the reciprocal condition of a .
for the system a*x = b , relative perturbations
in a and b of size epsilon may cause
relative perturbations in x of size epsilon/rcond .
if rcond is so small that the logical expression
1.0 + rcond .eq. 1.0
is true, then a may be singular to working
precision. in particular, rcond is zero if
exact singularity is detected or the estimate
underflows.

[Ehouarn]

Bonjour,

Tu devrais détailler comment tu as posé ton système (en particulier quelles sont les conditions aux limites et comment tu les gères).
D'expérience les problèmes de résolution tels que le tien (système "non-inversible") viennent de là.

[manaiilhem]

le problème est décrite dans la pièce jointe

[manaiilhem]

le calcul se fait de la manière suivante:
on fait la discrétisation en utilisant la méthode des volumes finies c'est-a-dire
on divise le domaine en 9 éléments comme indique dans le schéma jointe.
on fait la discrétisation pour chaque élément en utilisant la méthode des volumes finies et en tenant compte des conditions aux limites correspondantes à chaque élément
la méthode des volumes finies a pour principe la somme des flux sur les faces d'un volumes de contrôle est nulle.
par exemple pour l’élément de volume 1,on écrit l'équation comme suit:
sur la face west (a gauche ) h(T-T_infini) et sur la face sud (en bas) q=q_in
la face nord et la face East (haut et à droite) on considéré l'expression générale de flux.
on fait ensuite la somme et on aboutit à une équation discrétésée. les conditions aux limites vont apparaître dans le second membre de l'équation déscrétisée.
à la fin on obtient 9 équations désrétisées de la forme suivante chacune:
a_p Tp+a_e T_e+a_w T_w+a_s T_s+a_n T_n= V
les a_(p,e,w,s,n) correspond bien aux éléments de la matrice.
le v correspond au vecteur second membre.

[Aleph69]

le rcond dont je calcul n'est le réciproque . dans ci dessous la définition de rcond selon le programme
rcond double precision
an estimate of the reciprocal condition of a .
for the system a*x = b , relative perturbations
in a and b of size epsilon may cause
relative perturbations in x of size epsilon/rcond .
if rcond is so small that the logical expression
1.0 + rcond .eq. 1.0
is true, then a may be singular to working
precision. in particular, rcond is zero if
exact singularity is detected or the estimate
underflows.

Ta matrice est bien inversible et rcond correspond bien au conditionnement réciproque, c'est-à-dire à l'inverse du conditionnement de ta matrice. Il est tout à fait normal d'obtenir des matrices ayant un conditionnement de l'ordre de 10^6 et même plus. Tu es encore très loin de vérifier

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1.0 + rcond .eq. 1.0

Bref, ta matrice n'est pas singulière et ta solution est à mon avis calculée à une précision acceptable. Tu peux obtenir une majoration pessimiste de l'erreur relative commise sur la solution avec la quantité
cond(A)*||b-Ay||/||b||,
soit encore
||b-Ay||/(rcond(A)*||b||),
où y désigne la solution calculée.
Combien vaut ce produit?

[manaiilhem]

j'ai pas calculé ce produit. je te tiens au courant suite de calcul.
Notons que j'ai obtenu des résultats qui ne sont pas des bons résultats

[manaiilhem]

aussi
ils ont noté la phrase suivante qui est bien mon cas:
in particular, rcond is zero if
exact singularity is detected or the estimate
underflows.

[Aleph69]

aussi
ils ont noté la phrase suivante qui est bien mon cas:
in particular, rcond is zero if
exact singularity is detected or the estimate
underflows.

Depuis quand 1e-6 vaut 0?

[manaiilhem]

excusez-moi j'ai pas dit que 1e-6 vaut à mais ce que je savais une valeur qui n'est pas assez proche de 1 cad que la matrice a un problème.

[Aleph69]

Pourquoi? Tu peux le justifier?

[manaiilhem]

j'ai pas l'explication mais j'ai eu cette information de mon encadrant qui est un maître de conférence et un numéricien.

[Aleph69]

Dans ce cas, pose-lui la question.
Je t'invite à lire cet article et à te pencher plus particulièrement sur le théorème 2.2 :
http://eprints.ma.man.ac.uk/651/01/c...ep2006_404.pdf