Discussion :

[Anduriel]

Bonjour à tous,

J'ai un produit de matrice P = AB qui est définie négative.
J'aimerais en tirer A et B.
Je fais donc:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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[P1, P2, P3] = svd(P);
A = P1*sqrtm(P2);
B = sqrtm(P2)*P3'

Ensuite je définis une matrice C à partir de A et B moyennant quelques opérations élémentaires, qui est censée, d'après un théorème, être définie positive (sur papier la démonstration est claire).

Cependant, je me retrouve avec n valeurs propres négatives (très proches de 0 cependant).

Je tente de les forcer à 0 en redécomposant C:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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[C1, C2, C3] = svd(C);
% pour toutes les valeurs propres i négatives:
C2(i,i) = 1E-6; % positif
C = C1*C2*C3'

Mais là je retombe sur des valeurs propres négatives, ou même complexes...

Je ne sais pas du tout quoi faire de ces erreurs numériques, valeurs propres négatives, comment feriez-vous?

Merci

[shaiHulud]

Bonjour,

A priori ton premier bout de code est bon.
Néanmoins, la racine carrée d'une matrice n'est pas unique, et ton problème vient peut etre de

doc sqrtm : is the unique square root for which every eigenvalue has nonnegative real part

Peut etre que -sqrt(-P2) te donnerait une autre racine ?

Quel est le calcul (A,B) -> C ?

[Anduriel]

Après vérification A et B ont des valeurs propres réelles et bien strictement positives avec le sqrtm().
Si j'utilise -sqrt(-P2) j'obtiens des matrices à coefficients complexes, je pense pas que ça soit correct.

Je calcule C par (ou X et Y sont connues symétriques définies positives):

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

C = [Y -Y*X/A+inv(A);B -B*X/A];

J'ai essayé notamment avec des pinv(), ou en divisant (/) mais la précision est la même.

Merci

[shaiHulud]

Si j'utilise -sqrt(-P2) j'obtiens des matrices à coefficients complexes, je pense pas que ça soit correct.

Si P est définie négative ca ne me semble pas normal !

Par ailleurs, si P = AB , la svd n'identifie pas forcément A et B (par exemple si A et B sont carrées, AB= (A*M)*(inv(M)*B) pour toute M inversible

[Anduriel]

D'après la doc svd() retourne une matrice diagonale de valeurs positives, donc a priori c'est bon.

Après pour la reconstruction, c'est vrai que ma méthode n'est pas unique, mais c'est une solution qui existe puisque le produit donne bien AB?

[shaiHulud]

Ok pour svd-> positif. Désolé !

mais c'est une solution qui existe puisque le produit donne bien AB?

Tout à fait, mais dans le calcul de C, tu supposes peut être que c'est une solution particulière, et pas n'importe quel A,B

[tachmou]

Bonjour,

Je me permets de faire ce commentaire pour ceux qui souhaiteraient suivre mais qui ne comprennent pas tout... Deux notions sont importantes à connaître :
- Matrice définie positive
- Décomposition en valeurs singulières (svd dans matlab : svd = Singular Value Decomposition)

Ensuite, je pense que vous avez fait une erreur de raisonnement quelque part. Je m'explique. J'ai fait quelques tests. Prenons :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

>> P = diag([-3 -4 -5])

C'est une matrice réelle, diagonale, symétrique, et à valeurs propres toutes négatives (-3, -4 et -5) ==> c'est une matrice définie négative

Maintenant :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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[P1 P2 P3] = svd(P);
A = P1 * sqrtm(P2);
B = sqrtm(P2) * P3';

Et on se situe donc bien dans ton cas si je ne m'abuse.

Chez moi, eig(A) me renvoie trois valeurs propres réelles : 2 positives et 1 négative... sauf erreur de ma part, ça contredit donc ce qui a été dit un peu plus haut (je parle du post #3)...

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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ans =
 
    1.9680
   -1.9680
    2.0000

...à moins qu'il faille que la matrice P aie une forme particulière pour que A > 0 ? Par ailleurs, je ne vois pas pourquoi il faudrait que A>0 et B>0...

Si c'est possible j'aimerai avoir un exemple typique de P, X et Y. Ainsi que la démo qui dit que C>0.

Cordialement,