Résolution d'une équation différentielle non linéaire

[Undeplus]

Le but est de modéliser la chute d'une bille dans un liquide visqueux, le miel.
1) On dénombre alors les forces :

- Poids (mg)
- Poussée d'Archimède (π=ρVg)
- Frottement (en kv^n).

2) En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD), et après projection (axe z décroissant), on obtient l'équation suivante :

z''+(k/m)z'^n=g(1-ρmiel/ρbille) (1)

Pour simplifier un peu, je pose :
A=k/m
B=g(1-ρmiel/ρbille)
et j'effectue le changement de variable suivant :
Z=z'
On en déduit l'équation suivante :
Z'+AZ^n=B (2)


Or, le problème est que cette équation n'est pas intégrable pour n différent de 1. Cela est embêtant, car je veux montrer qu'à "faible" vitesse, la force de traînée est égale à F=kv
Mon objectif est donc de prendre plusieurs valeurs de n appartenant à [1,2], afin de superposer les courbes expérimentales à la courbe théorique, et observer laquelle est la plus proche.
Le "n" qui donnera une courbe v(t) (théorique) la plus proche de v(t) (expérimentale) permettra de conclure quand au "n" à choisir pour la force F=kv^n.

3) Concernant la résolution de l'équation, je vous montre ce que j'ai pu faire

Mais comme vous pourrez le constater, cela est insuffisant car, lorsque je demande à Maple de me tracer les courbes régies par l'équation (2), le résultat n'est pas à la hauteur.

NB : Pour les constantes, je pose A=3, et B=10 (cela correspond grossièrement à la réalité)

Conditions initiales : Z(0)=0 ; Z'(0)=B

Pour n=2, j'ai cette courbe :



Uploaded with ImageShack.us

Pour n=3/2, cela ne fonctionne pas :


Uploaded with ImageShack.us

Idem pour n=5/3, etc

Sinon j'ai pensé à la méthode d'Euler, en créant l’algorithme suivant :


Uploaded with ImageShack.us

Uploaded with ImageShack.us

Mais bon, là encore..