Aire d'une région particulière

[Wachter]

Bonjour !

Je vous décris le problème illustré par l'image jointe à ce message. Je dispose d'un carré et à l'intérieur de celui-ci sont placés 5 quarts de cercle identiques dont on connaît leur rayon R.

Je souhaite calculer approximativement la surface en blanc comprise entre les quarts de cercle rouges.

On peut remarquer que l'aire du carré est supérieure à 4R² et l'aire de la partie rouge est égale à (5PiR²)/4.

Si vous avez une quelconque idée, n'hésitez pas !

Merci d'avance.

[Graffito]

Sachant que la surface en blanc est exactement égale à l'aire du carré -5 fois la surface des quarts de disques, je ne comprends pas quelle est réelement la question à part déterminer le coté du carré en fonction du rayon du cercle.

Est-ce bien là le problème ?

Si c'est le cas, appelons C le coté du rectangle, R le rayon des cercles et O le centre du cercle correspondant au quart de cercle central.

Il me semble que la relation entre C et R pourra être calculée en tenant compte :

• des quarts de cercles du bas qui permettent de déterminer les coordonnées de x0,y0 de O en fonction de R et C.
• du fait que la distance de O aux coins du haut est égale à 2R.

[plegat]

Salut

Envoyé par Wachter

Je vous décris le problème illustré par l'image jointe à ce message. Je dispose d'un carré et à l'intérieur de celui-ci sont placés 5 quarts de cercle identiques dont on connaît leur rayon R.

Pas possible ça... si les 5 quarts de disque sont identiques, et qu'ils sont disposés comme sur la figure jointe, alors ce n'est pas un carré mais un rectangle.

Pour des quarts de disque de rayon R, avec un rectangle de largeur 2b et hauteur L, ça donne:

Code :

1
2
3
b=R/2*racine(5)*cos(pi/4-atan(1/2))
L=b*tan(pi/4-atan(1/2))+racine(4*R²-b²)

Je te laisse calculer la différence pour la zone blanche.

Pour l'explication, avec le schéma en pièce jointe (même principe que ce qu'a donné Graffito juste au-dessus):

• triangle OAB, rectangle en A, permet de calculer OB
• calcul de l'angle AOB=atan(AB/OA)
• angle COA=pi/4, d'où le calcul de l'angle BOC
• triangle OBC, rectangle en C, permet de calculer b=OB*cos(BOC), et également BC=OB*sin(BOC) (on a ainsi les coordonnée du point B pour le calcul suivant)
• distance BD, égale à 2R, donne une équation du second degré à résoudre pour obtenir L (où l'on obtient que L est différent 2b et que ce n'est donc pas un carré)

Après, si c'est vraiment un carré, il faut revoir les hypothèses... par exemple que le quart de disque central n'est pas de rayon R, ou qu'il fait plus d'un quart...

[Wachter]

Salut !

Désolé de ne pas avoir donné suite à vos réponses fort intéressantes.

Est-ce bien là le problème ?

En principe c'est ça. Encore faut-il que je sois sûr d'avoir bien compris la question posée dans ce problème : « quelle est au minimum l'aire du fond du carré (ou de la boîte dont on ignore l'épaisseur) arrondie au plus près ».

Il me semble que la relation entre C et R pourra être calculée en tenant compte :

Il faut que j'analyse ta méthode pour pouvoir répondre. D'ailleurs, je n'ai pas compris pourquoi la distance entre le point O et l'un des coins supérieurs est égale à 2R.

Pas possible ça... si les 5 quarts de disque sont identiques, et qu'ils sont disposés comme sur la figure jointe, alors ce n'est pas un carré mais un rectangle.

Si, si. Il est bien mentionné dans l'énoncé du problème que la boîte est de forme carrée et qu'elle contient entièrement et sans recouvrement les cinq quarts de cercle identiques. Il est précisé également dans l'énoncé que, si besoin est, on prendra 3,317 pour √11 ; 3,606 pour √13; 3,873 pour √15 ; 4,123 pour √17 et 4,359 pour √19. En trichant un peu, j'ai trouvé une surface de 124 cm2 à peu près.

Je complèterai ma réponse dès que j'analyserai plus en détail vos contributions.

Merci à vous.

[pseudocode]

Longueur des segments bleus = R
Longueur des segments verts = R/racine(2)

Coté du carré = 3 * R/racine(2)

Aire des cercles = 5/4 * (PI * R²)
Aire du carré = 9/2 * R²

Aire de ma zone blanche = (9/2 - 5.PI/4) * R² ~ 0,573 * R²


(si tant est que les hypothèses sont justes, cf. post de plegat)

[plegat]

Envoyé par pseudocode

(si tant est que les hypothèses sont justes, cf. post de plegat)

Il faudrait que je les vérifies d'ailleurs, en y regardant avec un oeil neuf plus reposé qu'après le réveillon, il y a un R/2 sur la figure que j'ai joint qui me semble louche dans mes hypothèses!

[plegat]

Envoyé par pseudocode

Longueur des segments bleus = R
Longueur des segments verts = R/racine(2)

[...]

(si tant est que les hypothèses sont justes, cf. post de plegat)

donc effectivement, je confirme, j'ai fait une boulette en prenant comme toi l'hypothèse que les segments verts font R/2, ce qui n'est pas le cas.

En refaisant les calculs, on tombe pour la longueur du côté du carré sur la valeur (3*racine(2)+racine(38))/5*R, soit en approximant 2.08141*R
(pour les détails, je peux les donner ultérieurement... sinon, il faut repérer tous les triangles rectangle et utiliser pythagore, et utiliser le fait que le contact entre le quart de disque central et le quart en bas à gauche se fait sur la droite à 45°).

Au final, l'aire approchée de la zone blanche est de 0.40528*R²

[edit] quelques détails, voir image jointe:
- triangle OAB et OBC rectangles: e²=b²/4+c²=R²+f² (eq 1)
- triangle DEB rectangle: d²+b²/4=4*R² (eq 2)
- angle AOC=45°: R*cos45-f*cos45=c ► c=(R-f)/racine(2) (eq 3)
- d+c=b (eq 4)

eq 3 dans eq 1 donne: f=b/racine(2)-R, d'où c=R*racine(2)-b/2

En combinant eq 2 et eq 4, on obtient b

[pseudocode]

Envoyé par plegat

donc effectivement, je confirme, j'ai fait une boulette en prenant comme toi l'hypothèse que les segments verts font R/2, ce qui n'est pas le cas.

En refaisant les calculs, on tombe pour la longueur du côté du carré sur la valeur (3*racine(2)+racine(38))/5*R, soit en approximant 2.08141*R
(pour les détails, je peux les donner ultérieurement... sinon, il faut repérer tous les triangles rectangle et utiliser pythagore, et utiliser le fait que le contact entre le quart de disque central et le quart en bas à gauche se fait sur la droite à 45°).

Ah? Si les segments bleus font R, les autres segments verts devraient faire R/racine(2).



- Pour les 2 segments verts dans chaque triangle, ce sont les demi-diagonales du carré bleu.

- Pour le segment vert horizontal joignant les 2 pointes, c'est le coté d'un quadrilatère ayant ses diagonales (bleues) perpendiculaires et de même longueurs => c'est un carré.

non ?

[plegat]

Envoyé par pseudocode

- Pour les 2 segments verts dans chaque triangle, ce sont les demi-diagonales du carré bleu.

ça, c'est ok, ça fait bien R/racine(2)

Envoyé par pseudocode

- Pour le segment vert horizontal joignant les 2 pointes, c'est le coté d'un quadrilatère ayant ses diagonales (bleues) perpendiculaires et de même longueurs => c'est un carré.

sauf que ses diagonales ne sont pas perpendiculaires, et que c'est donc un rectangle.
Sur ton dessin, tu les fais apparaitre perpendiculaires, mais ce ne sont pas les diagonales que tu as tracé, il y a un petit chouillas d'écart entre les extrémités des segments perpendiculaires que tu as tracé, et les sommets du "carré".

Avec mon dernier résultat, on a 2.08*R comme longueur du côté du carré.
Avec ton résultat, ça ferait 3*R/racine(2), ce qui fait environ 2.12*R. Les deux résultats sont très proches!

Et puis tu n'utilises pas le fait que le quart de disque central soit tangent aux deux quarts de disque en haut du carré... c'est louche non?

[pseudocode]

Envoyé par plegat

sauf que ses diagonales ne sont pas perpendiculaires, et que c'est donc un rectangle.
Sur ton dessin, tu les fais apparaitre perpendiculaires, mais ce ne sont pas les diagonales que tu as tracé, il y a un petit chouillas d'écart entre les extrémités des segments perpendiculaires que tu as tracé, et les sommets du "carré".

Bah, ce sont deux droites à 45° qui se croisent. Elles forment un angle droit.

Elles sont à 45° car orthogonales aux premiers segments bleus. Et ceux la sont eux aussi à 45° car ils sont orthogonaux au point de tangence (chaque coté du quart central est a 45°).

Et puis tu n'utilises pas le fait que le quart de disque central soit tangent aux deux quarts de disque en haut du carré... c'est louche non?

Ca effectivement. Tout mon raisonnement par du principe que l'énoncé est juste, et qu'il y a bien 5 quarts de cercles tangents qui couvrent le carré. Si, l'énoncé est faux, ca ne sert a rien de répondre à la question.

Edit: d'ailleurs je viens de vérifier, et avec mes résultats on trouve que la distance entre le "coin haut du carré" et "la pointe du quart central" ne fait pas 2*R mais 2,06*R . Du coups, je remet en question l'exactitude de l'énoncé.

[plegat]

Envoyé par pseudocode

Bah, ce sont deux droites à 45° qui se croisent. Elles forment un angle droit.

Elles sont à 45° car orthogonales aux premiers segments bleus. Et ceux la sont eux aussi à 45° car ils sont orthogonaux au point de tangence (chaque coté du quart central est a 45°).

Sauf que rien ne dit que les deux droites portées par les deux rayons du quart de disque central passent effectivement par les points d'intersection de l'axe Ox et des deux quarts de disque du bas...
Sur ton schéma, ça a l'air d'y passer, mais ça n'y passe pas. Donc, effectivement, ces deux droites sont bien perpendiculaires, mais non, ce ne sont pas les diagonales du "carré" central, elles ne relient pas les sommets opposés.

Envoyé par pseudocode

Ca effectivement. Tout mon raisonnement par du principe que l'énoncé est juste, et qu'il y a bien 5 quarts de cercles tangents qui couvrent le carré. Si, l'énoncé est faux, ca ne sert a rien de répondre à la question.

Tu as fait la même erreur que moi, considérer que le quart de disque central est tangent à la moitié de ses rayons (ce qui implique que le quadrilatère du miieu est un carré, et que le carré initial n'en est pas un), ce qui n'est pas le cas. En gros, on a tous les deux émis une hypothèse supplémentaire qui n'est pas dans l'énoncé, et qui rend l'énoncé faux.

Envoyé par pseudocode

Edit: d'ailleurs je viens de vérifier, et avec mes résultats on trouve que la distance entre le "coin haut du carré" et "la pointe du quart central" ne fait pas 2*R mais 2,06*R . Du coups, je remet en question l'exactitude de l'énoncé.

Non, remet en question tes hypothèses plutôt. Regarde les détails de mon post de hier, j'ai supprimé l'hypothèse sur la tangence du quart de disque central en R/2 (qui est fausse et qui perturbe toute la démonstration au final), et rajouté celle concernant la tangence entre le quart de disque central et les deux quarts supérieurs (i.e. distance entre le "coin haut du carré" et "la pointe du quart central" = 2R)

Et ça fonctionne mieux du coup!

[pseudocode]

Envoyé par plegat

Tu as fait la même erreur que moi, considérer que le quart de disque central est tangent à la moitié de ses rayons (ce qui implique que le quadrilatère du miieu est un carré, et que le carré initial n'en est pas un), ce qui n'est pas le cas. En gros, on a tous les deux émis une hypothèse supplémentaire qui n'est pas dans l'énoncé, et qui rend l'énoncé faux.

Non, non. Je ne fais aucune hypothèse sur l'endroit du point de tangence sur les cotés du quart central.



1. Par hypothèse (et symétrie), les cotés du quart central sont à 45°
2. Par hypothèse, les cotés du quart central sont tangents aux deux fragments de cercle en bas
3. Par propriété, la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par le point de tangence.
==> les segments bleus et violets sont à 45°, et de même taille (= Rayon)

=> le quadrilatère gris à donc ses diagonales perpendiculaires et de même longueur.

[plegat]

Envoyé par pseudocode

Non, non. Je ne fais aucune hypothèse sur l'endroit du point de tangence sur les cotés du quart central.

Ben... dans ton image précédente, un peu quand même, en disant que tous les segments verts font R/racine(2).

Envoyé par pseudocode

1. Par hypothèse (et symétrie), les cotés du quart central sont à 45°
2. Par hypothèse, les cotés du quart central sont tangents aux deux fragments de cercle en bas
3. Par propriété, la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par le point de tangence.
==> les segments bleus et violets sont à 45°, et de même taille (= Rayon)

On est d'accord.
Note quand même que dans ton image précédente, c'était méchamment perpendiculaire de tous les côtés... non?

Envoyé par pseudocode

=> le quadrilatère gris à donc ses diagonales perpendiculaires et de même longueur.

Ouaip. Tu as un joli quadrilatère orthodiagonal, et encore plus, un pseudo-carré. Mais ce n'est pas un carré. De pas beaucoup, mais ça n'en est pas un. Si ça en était un, les diagonales se couperaient en leur milieu, et on en revient au problème sur l'énoncé si on continue dans cette voie...

[pseudocode]

Envoyé par plegat

Ouaip. Tu as un joli quadrilatère orthodiagonal, et encore plus, un pseudo-carré. Mais ce n'est pas un carré. De pas beaucoup, mais ça n'en est pas un. Si ça en était un, les diagonales se couperaient en leur milieu, et on en revient au problème sur l'énoncé si on continue dans cette voie...

Ah oui, j'ai trouvé mon erreur. Je croyais que par symétrie c'était forcément un parallélogramme, mais en fait la symétrie nous donne seulement que c'est un trapèze isocèle.