equation avec ordres de grandeur différents

**membreComplexe12** · 17/12/2012, 23h07

Bonjour tous,

j'ai un petit soucis car je travail actuellement avec des ordres de grandeur très différent et j'aimerai savoir comment faire
pour programmer ce que je souhaite faire.

je souhaite programmer cette multiplication matricielle :
==> cf. PJ

le soucis est que dans mon probleme j'ai des ordre de grandeur très différent !

Par exemple :
x_{10}=1e30
x_{20}=0
les valeur de b_1 et b_2 sont liées à ces valeurs de x
si x_{10} est très grand c'est la meme chose pour b_1

Ce que je cherche
je cherche une petite technique mathématique pour ramener ceci à une equation qui manipule des ordres de grandeurs equivalent
mais je ne sais pas trop comment faire sur ce cas simple.

ps: voyez vous une astuce simple ? ou je dois faire du préconditionnement ? (je ne connais pas vraiment)

**souviron34** · 18/12/2012, 10h48

peut-être raisonner en pourcentage ??

val min - max de x10
val min - max de x20

transformer tout en val-valmin/(val-max-valmin). Là tous tes coeffs seront entre 0 et 1.

Une fois la solution trouvée, tu remets les bonnes valeurs :

vraie valeur = val min + valeur*(valmax-valmin)

**FR119492** · 18/12/2012, 17h12

Salut!
Si tes données sont des grandeurs physiques, tu choisis des unités mieux adaptées pour les exprimer, par exemple des nanosecondes ou des gigahertz.
Jean-Marc Blanc

**membreComplexe12** · 18/12/2012, 19h12

merci pour vos réponses.

- je vais regarder si j'arrive à faire ceci avec les pourcentages car ça me semble une bonne solution

- le changement d'unité je ne pense pas que ça revolve mon probleme :
en fait j'ai une boite avec par exemple 10molecules et une autre 1e50 molecules et je ne peux peut pas faire vraiment autrement (ou je change l'unité d'une boite mais pas de l'autre.)

**membreComplexe12** · 18/12/2012, 20h12

Envoyé par souviron34

peut-être raisonner en pourcentage ??
val min - max de x10
val min - max de x20
transformer tout en val-valmin/(val-max-valmin). Là tous tes coeffs seront entre 0 et 1.
Une fois la solution trouvée, tu remets les bonnes valeurs :
vraie valeur = val min + valeur*(valmax-valmin)

souviron j'ai beaucou ton idée mais j'ai un peu de mal à la mettre en place
car je ne comprends pas vraiment tes notations, pourrais tu detailler un peu plus s'il te plait ?

je te remercie

**Aleph69** · 19/12/2012, 00h31

Envoyé par membreComplexe12

le soucis est que dans mon probleme j'ai des ordre de grandeur très différent !

Et alors? Concrètement, quel est le problème?
Donne un exemple précis avec des valeurs pour qu'on comprenne.

**membreComplexe12** · 19/12/2012, 09h04

j'ai mon système qui va etre très mal conditionné si j'ai des ordres de grandeurs tres différent et donc une precision sur la solution mediocre ?

ps : ici je n'ai pas presenté mon systeme sous forme classique car la matrice etait tres facile à inverser

**souviron34** · 19/12/2012, 09h48

Envoyé par membreComplexe12

souviron j'ai beaucou ton idée mais j'ai un peu de mal à la mettre en place
car je ne comprends pas vraiment tes notations, pourrais tu detailler un peu plus s'il te plait ?

je te remercie

Si l'on prend (je ne sais pas si c'est le cas) comme input tes x10 et x20...

Ou quel que soit ce que tu as en entrée en fonction de ton nombre de molécules..

Pour chaque entrée (dépendante) de x10, tu calcules d'abord le min et max. Puis tu remplaces ces valeurs par le pourcentage, en stockant le min et le max (pourcentage = (valeur-min)/(max - min)).

Même chose pour les entrées () de x20..

Là tu fais tes calculs avec que des quantités entre 0 et 1.

Une fois tes calculs faits, pour avoir les bonnes valeurs de sortie, tu appliques la règle de trois inverse avec les min-max pour revenir dans le bon système.. (valeur = min + pourcentage*(max-min))

ça revient au changement d'unité de FR119492 mais en faisant des unités relatives..

Sinon, si la différence porte seulement sur le nombre (et pas les valeurs comme tu semblais le suggérer), alors tu remplaces chaque entrée par entrée/nombre, et tu multiplies chaque sortie par nombre..

**Aleph69** · 19/12/2012, 10h58

Envoyé par membreComplexe12

j'ai mon système qui va etre très mal conditionné si j'ai des ordres de grandeurs tres différent et donc une precision sur la solution mediocre ?

ps : ici je n'ai pas presenté mon systeme sous forme classique car la matrice etait tres facile à inverser

Je ne comprends plus. Tu dois calculer un produit matrice-vecteur ou résoudre un système linéaire?

**souviron34** · 19/12/2012, 12h40

Je crois que ce qu'il voulait dire au départ est que n'importe quel calcul (matriciel ou non) où les coeffs ont des écarts gigantesques peut être potentiellement biaisé, voire faux, à cause des problèmes numériques.. (arrondis, comparaisons..)

Ce qui peut être amplifié par/pour des méthodes style pivot ou autre "convergence" ou autre..

Si j'ai bien compris....

**Aleph69** · 19/12/2012, 16h00

Envoyé par souviron34

Je crois que ce qu'il voulait dire au départ est que n'importe quel calcul (matriciel ou non) où les coeffs ont des écarts gigantesques peut être potentiellement biaisé, voire faux, à cause des problèmes numériques.. (arrondis, comparaisons..)

Par définition, toutes les opérations entre flottants sont potentiellement biaisées, et rares sont les cas où les calculs sont exacts. C'est totalement indépendant de la présence de contrastes entre les flottants impliqués. La manière dont ces erreurs d'arrondis sont amplifiées au cours des calcul dépend bien évidemment des données ET de l'algorithme. Résoudre un système linéaire et calculer un produit matrice-vecteur, ce n'est pas la même chose du point de vue de la stabilité des calculs.

**pseudocode** · 19/12/2012, 23h04

Envoyé par Aleph69

Par définition, toutes les opérations entre flottants sont potentiellement biaisées, et rares sont les cas où les calculs sont exacts. C'est totalement indépendant de la présence de contrastes entre les flottants impliqués.

A ce propos: Why was Pinball removed from Windows Vista?.

We had several million lines of code still to port, so we couldn't afford to spend days studying the code trying to figure out what obscure floating point rounding error was causing collision detection to fail. We just made the executive decision right there to drop Pinball from the product.

(désolé pour ce léger hors-sujet)

**souviron34** · 20/12/2012, 10h44

Envoyé par Aleph69

Par définition, toutes les opérations entre flottants sont potentiellement biaisées, et rares sont les cas où les calculs sont exacts. C'est totalement indépendant de la présence de contrastes entre les flottants impliqués. La manière dont ces erreurs d'arrondis sont amplifiées au cours des calcul dépend bien évidemment des données ET de l'algorithme. Résoudre un système linéaire et calculer un produit matrice-vecteur, ce n'est pas la même chose du point de vue de la stabilité des calculs.

oui et non...

Dès qu'une addition/soustraction est impliquée, ça se sent...

Vu que (par exemple en 32 bits) la précision double est de 10^-16, si l'on additionne 1 et 10^-20, on aura toujours 1, et même si on additionne 1 et 10^-17

Donc, dès qu'une addition ou soustraction est impliquée, on a fortement intérêt à avoir des termes du "même ordre", ou tout au moins rentrant dans le cadre de la précision informatique.

On ne peut donc pas dire que c'est "totalement indépendant". Et comme de nombreuses opérations matricielles ou vectorielles reposent sur des additions/soustracttions, il est très loin d'être absurde de vouloir avoir un ordre de grandeur comparable, ou tout au moins d'un ordre largement supérieur à la précision intrinsèque..

**Aleph69** · 20/12/2012, 22h23

Envoyé par souviron34

oui et non...

Dès qu'une addition/soustraction est impliquée, ça se sent...

Vu que (par exemple en 32 bits) la précision double est de 10^-16, si l'on additionne 1 et 10^-20, on aura toujours 1, et même si on additionne 1 et 10^-17

Donc, dès qu'une addition ou soustraction est impliquée, on a fortement intérêt à avoir des termes du "même ordre", ou tout au moins rentrant dans le cadre de la précision informatique.

On ne peut donc pas dire que c'est "totalement indépendant". Et comme de nombreuses opérations matricielles ou vectorielles reposent sur des additions/soustracttions, il est très loin d'être absurde de vouloir avoir un ordre de grandeur comparable, ou tout au moins d'un ordre largement supérieur à la précision intrinsèque..

En additionnant deux flottants, tu restes à la précision machine et si tu additionnes un très grand et un très petit nombre et que la précision machine ne te convient pas, c'est qu'il te faut un type de flottant plus précis, voire la possibilité de faire de la précision mixte ou exacte. Reprocher à des doubles de ne pas fournir un meilleur ordre de précision que 1e-16 lorsqu'on ajoute deux nombres n'a pas de sens. Si tu choisis d'utiliser des doubles, c'est justement pour être sûr que l'erreur sera au plus de cet ordre en faisant ton addition. Et cet ordre de précision est bien totalement indépendant de la grandeur ou de la petitesse des nombres additionnés. J'espère que c'est clair parce que je n'ai aucune envie de débattre là-dessus.