Calcul de l'argument d'un nombre complexe

[roobi]

Salut... Aidez-moi svp, j'ai un exercice que j'ai pas pu résoudre.

Exercice :
écrire un sous-programme chargé de calculer l'argument d'un nombre complexe ?

Alors j'ai déclaré le type complexe :

Code :

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type complexe=record
                     reel,imaginaire:real;
              end;

Rappelons que l'argument principal d'un nombre complexe z=a+ib non nul est un angle 'tita' tel que

• cos(tita)= a/ module(z) et
• sin(tita)= b/module(z)

Le résultat du programme est la valeur de "tita" ???
Aidez-moi svp

[Alcatîz]

Bonjour,

Pour pouvoir t'aider, il faut que l'on sache où tu rencontres des problèmes : est-ce dans la mise en oeuvre des fonctions trigonométriques ou ailleurs ?

[roobi]

Envoyé par Alcatîz

Bonjour,

Pour pouvoir t'aider, il faut que l'on sache où tu rencontres des problèmes : est-ce dans la mise en oeuvre des fonctions trigonométriques ou ailleurs ?

mon problème est comment trouver "tita" on connaissant son sinus et cosinus
alors mon problème est mathématique en premier temps

[Modulpro]

Bonsoir

L'angle que vous cherchez (qui au passage est désigné par la lettre grecque θ qui s'écrit "thêta") vérifie

sin(θ) = Im(z) / |z|
cos(θ) = Re(z) / |z|

Ainsi, en faisant le quotient des deux égalité vous obtenez

tan(θ) = Im(z) / Re(z)

Il suffit donc de prendre l’arctangente du quotient de la partie imaginaire sur la partie réelle pour obtenir θ modulo π. Pour obtenir la valeur exacte, il faut étudier le signe des deux termes du quotient. Il peut être utile pour cela de raisonner avec un cercle trigonométrique (si Re(z) < 0, θ = arctan(Im(z) / Re(z)) ± π) : cette subtilité vient du fait que la fonction tangente n'est bijective que sur sa restriction à ]-π/2 ; π/2[, ce qui implique qu’arctangente ne revoie que des valeurs dans cet intervalle. Plus de détail ici.

[EtherOS]

{Attention: ce code n'est pas testé et peut contenir des erreurs.}

Code :

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Program CalculAngle(input,output);
Uses Math,Crt;
Type TComplexe = record
             RealPart : real;
             ImgPart : real;
         End;
Var z: Tcomplexe;

Fonction Module (var InputZ: Tcomplexe) : real;
Begin
       Module := sqrt(sqr(InputZ.ImgPart)+sqr(InputZ.RealPart));
End;

Procedure Angle (InputZ: Tcomplexe;var OutputAngle: real );
Begin
       OutputAngle := asin(InputZ.ImgPart / Module(InputZ));
End;

Var theta : real;
Begin
       Textbackground(1);
       clrscr;
       Textcolor(10);
       Writeln("Entrer un complexe :");
       Textcolor(14);
       Gotoxy(10,3);Readln(z.RealPart,z.ImgPart);
       Angle(z,theta);
       Textcolor(11);
       Gotoxy(10,5);Writeln(#205,"Votre Resultat :",#205);
       Textcolor(14);
       Gotoxy(10,7);Writeln("THETA = ", theta:0:3);
       Readln;
End.

[Modulpro]

Bonsoir,

Le code proposé ci-dessus utilise le fait que sin(θ) = Im(z) / |z|, relation que l'on peut retrouver facilement de manière graphique dans le plan complexe. Cependant, cette méthode présente l'inconvénient de devoir calculer le module pour trouver l'argument. Elle ne résout pas non plus le problème posée par la fonction arctangente, puisqu'elle ne permet d'obtenir que des valeurs dans [-π/2 ; π/2]. Il faut donc distinguer les cas en fonction du signe de la partie réelle pour avoir un résultat correcte :

Pour a = arcsin( Im(z) / |z|) on a
- si Re(z) >= 0, alors θ = a
- si Re(z) < 0, alors θ = π - a

De même avec la tangente :

Pour b = arctan( Im(z) / Re(z)) on a
- si Re(z) >= 0, alors θ = b
- si Re(z) < 0, alors θ = b ± π

Cette dernière méthode ne prend cependant pas en compte le cas ou Re(z) = 0.
Ces deux méthodes peuvent se retrouver à l'aide du cercle trigonométrique et se démontrent en résolvant le système trigonométrique complet :
sin(θ) = Im(z) / |z|
cos(θ) = Re(z) / |z|
qui n'admet qu'une unique solution à 2π près, contrairement aux équations faisant intervenir les fonctions réciproques.