Discussion :

[tanaka59]

Hello

Je recherche les racines du polynôme suivant :

(-x^3) + (22*x^2) - (136*x) - (2560/27)

Problème je dois trouver des valeurs entières (c'est à dire si x était égal à 0,333 ... je doit mettre 1/3 etc ... )

Merci de me tuyauter

[kwariz]

Bonjour,

wolfram donne 1 solution réelle (non rationelle) et deux solutions imaginaires.

[j.p.mignot]

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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unit Unit1;
 
interface
 
uses
  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
  StdCtrls, Buttons, ExtCtrls, OleCtrls, ToolWin, ComCtrls, TeEngine,
  Series, TeeProcs, Chart, BubbleCh;
 
type
  TForm1 = class(TForm)
    BitBtn1: TBitBtn;
    BitBtn2: TBitBtn;
    dg: TRadioGroup;
    Panel1: TPanel;
    GroupBox1: TGroupBox;
    A0: TPanel;
    A1: TPanel;
    A2: TPanel;
    A3: TPanel;
    A4: TPanel;
    Timer1: TTimer;
    edit0: TEdit;
    Edit2: TEdit;
    Edit3: TEdit;
    Edit1: TEdit;
    Edit4: TEdit;
    Panel2: TPanel;
    GroupBox2: TGroupBox;
    Panel3: TPanel;
    S1: TPanel;
    S2: TPanel;
    S3: TPanel;
    S4: TPanel;
    Edit5: TEdit;
    Edit6: TEdit;
    Edit7: TEdit;
    Edit8: TEdit;
    Edit9: TEdit;
    Memo1: TMemo;
    Courbe: TGroupBox;
    Shape1: TShape;
    Chart1: TChart;
    Series1: TLineSeries;
    Series2: TLineSeries;
    Series3: TPointSeries;
    Panel4: TPanel;
    Panel5: TPanel;
    procedure BitBtn1Click(Sender: TObject);
    procedure FormCreate(Sender: TObject);
    procedure dgClick(Sender: TObject);
    procedure Timer1Timer(Sender: TObject);
    procedure BitBtn2Click(Sender: TObject);
  private
    { Déclarations privées }
  public
    { Déclarations publiques }
  end;
 
var
  Form1: TForm1;
 
implementation
 
{$R *.DFM}
 
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
begin
application.terminate
end;
 
procedure edtv( sender : Tobject);
begin
with Form1 do
begin
edit0.visible:=A0.visible;
edit1.visible:=A1.visible;
edit2.visible:=A2.visible;
edit3.visible:=A3.visible;
edit4.visible:=A4.visible;
S1.visible:=A1.Visible;
S2.visible:=A2.Visible;
S3.visible:=A3.Visible;
S4.visible:=A4.Visible;     
edit6.visible:=A1.Visible;
edit7.visible:=A2.Visible;
edit8.visible:=A3.Visible;
edit9.visible:=A4.Visible;
end
end;
function strx( f : single; i,j : byte) : string;
var t : string;
   begin
   str(f:i:j,t);
   strx:=t;
   end;
function istx( b : byte) : string;
var t : string;
   begin
   str(b,t);
   istx:=t;
   end;
 
procedure no_ans( sender : Tobject);
begin
with Form1 do
begin
 
edit5.text:='----';
edit6.text:='----';
edit7.text:='----';
edit8.text:='----';
edit9.text:='----';
end
end;
const epsilon = 1e-15;
function ArcSin(x : extended): extended;
   begin
   if (x > 1-epsilon ) then
      arcsin :=pi/2
   else
   if (  x < -1+epsilon ) then
      arcsin:=-pi/2
   else
      arcsin:= ArcTan (x/sqrt (1-sqr (x)))
   end;
function Arccos( x : extended) : extended;
   begin
   if   (        abs(x) < epsilon ) then
      arccos := pi/2
   else
   if ( x > 0 ) then
      ArcCos := ArcTan (sqrt (1-sqr (x)) /x)
   else
      ArcCos:=pi -  ArcTan (sqrt (1 + sqr (x)) /x)
   end;
type s04 = array[0..4] of extended;
type sl  = record
           def : boolean;
           val : extended;
           end;
type       sl4 = array[1..4] of sl;
var a                   : extended;
    _a                  :       s04;
    sol                 :       sl4;
    deg,
    status              : integer;
    str1                : string;
procedure mst;
var c : byte;
   begin
   form1.memo1.lines.clear;
   for c:=1 to 4 do sol[c].def:=false;
   end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
 
begin
caption:='              RACINES    D '' UNE       EQUATION     DE    DEGRÉ     1  A  4';
align:=alclient;
panel4.visible:=false;
 
series1.clear;
series2.clear;
series3.Clear;
 
mst;
dg.itemindex:=0;
A0.visible:=true;
A1.visible:=true;
A2.visible:=false;
A3.visible:=false;
A4.Visible:=false;
 
edit0.text:='';
edit1.text:='';
edit2.text:='';
edit3.text:='';
edit4.text:='';
 
no_ans(sender);
 
edtv(sender);
end;
 
procedure TForm1.dgClick(Sender: TObject);
begin
timer1.enabled:=true;
end;
 
procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);
begin
timer1.enabled:=false;
case dg.itemindex of
     0   :    begin
              A2.visible:=false;
              A3.visible:=false;
              A4.visible:=false;
              end;
     1   :    begin
              A2.visible:=true;
              A3.visible:=false;
              A4.visible:=false;
              end;
     2   :    begin
              A2.visible:=true;
              A3.visible:=true;
              A4.visible:=false;
              end;
     3   :    begin
              A2.visible:=true;
              A3.visible:=true;
              A4.visible:=true;
              end;
              end;
edtv(sender);
end;
function poly ( _a : s04 ; deg : integer; f : extended) : extended;
var r,y : extended; j : integer;
   begin
   r:=f;
   y:=_a[0];
   for j:=1 to deg do
      begin
      y:=y + _a[j]*r;
      r:=r*f;
      end;
   poly:=y;
   end;
procedure poly_1 ( _a : s04);
   begin
   sol[1].def:=true;
   sol[1].val:=-_a[0]/_a[1];
   str(poly(_a,1,sol[1].val),str1);
   form1.memo1.lines.add(str1);
   end;
procedure poly_2(_a : s04);
var d : extended;
   begin
   d:=sqr(_a[1])-4*_a[0]*_a[2];
   if d < 0 then
      exit;
   if (d=0) then
      begin
       sol[1].def:=true;
       sol[1].val:=-_a[1]/(2*_a[2]);
       str(poly(_a,2,sol[1].val),str1);
       form1.memo1.lines.add(str1);
       exit;
      end;
   d:=sqrt(d);
   sol[1].def:=true;
   sol[1].val:=(-_a[1]+d)/(2*_a[2]);
   sol[2].def:=true;
   sol[2].val:=(-_a[1]-d)/(2*_a[2]);
   str(poly(_a,2,sol[1].val),str1);
   form1.memo1.lines.add(str1);
   str(poly(_a,2,sol[2].val),str1);
   form1.memo1.lines.add(str1);
   end;
function sh(x : extended) : extended;
   begin
   sh := (exp(x)-exp(-x))/2;
   end;
function ch(x : extended) : extended;
   begin
   ch := (exp(x)+exp(-x))/2;
   end;
procedure poly_3(_a  : s04; m : boolean);
var a,b,c,lambda3,p,q,alpha,v,xi : extended;
   begin
   {
   p = b - (1/3)*a^2 et
   q = (2/27)*a^3 - (1/3)*a*b + c
   }
   a:= _a[2]/_a[3];
   b:=_a[1]/_a[3];
   c:=_a[0]/_a[3];
   { x^3 + a x^2 + b x + c = 0 }
   lambda3:=-a/3;
   p:=b-sqr(a)/3;
   q:=2/27*a*sqr(a) - a*b/3 + c;
   if ( p = 0) then       { Z^3 = -q }
      begin
      sol[1].def:=true;
      if   (q=0) then
           sol[1].val:=0;
      if   (q < 0) then
         sol[1].val:=exp(ln(-q)/3)+lambda3;
      if (q > 0) then
         sol[1].val:=-exp(ln(q)/3)+lambda3;
      str(poly(_a,3,sol[1].val),str1);
      form1.memo1.lines.add(str1);
      end
   else   { p <> 0    Z^3 + pZ = -q }
      begin
      if   ( p > 0) then { sh(3t) = 4sh(t)^3 + 3 sh(t) }
         begin
         alpha:=sqrt(4*p/3);
         v:=-3*q/(p*alpha);     { 4Z^3 + 3Z = v }
         v:=ln(v+sqrt(1 + v*v))/3;  {recipoque sh }
         sol[1].def:=true;
         sol[1].val:=alpha*sh(v)+lambda3;
         str(poly(_a,3,sol[1].val),str1);
         form1.memo1.lines.add(str1);
         form1.panel4.caption:='P>0 SH';
         end
      else { p < 0 }
         begin
         alpha:=sqrt(-4*p/3);
         v:=3*q/p/alpha;      { 4Z^3 - 3Z = -V }
         if              (   abs(v) <=1 ) then
            begin            { cos(3t) = 4 cos(t)^3 - 3 cos(t) }
            str(v,str1);
            form1.panel4.caption:='P<0 COS   V = ' + str1;
            v:=arccos(v)/3;
            for status:=1 to 3 do
               begin
               sol[status].def:=true;
               sol[status].val:=alpha*cos(v+2*pi*status/3)+lambda3;
               str(poly(_a,3,sol[status].val),str1);
               form1.memo1.lines.add(str1)
               end
            end
         else
         if  (v > 1) then                 { Z=ch(3t) = 4ch(t)^3 - 3 ch(t)  }
            begin
            form1.panel4.caption:='P<0 CH';
            v:=ln(v+sqrt(v*v-1));         { reciproque ch }
            sol[1].def:=true;
            sol[1].val:=alpha*ch(v/3)+lambda3;
            if m then
               begin
               str(poly(_a,3,sol[1].val),str1);
               form1.memo1.lines.add(str1)
               end
            end
         else   { v < -1   Z=-ch(t)}
            begin
            form1.panel4.caption:='P<0 -CH';
            v:=ln(-v+sqrt(v*v-1)); { reciproque de -ch(t) }
            sol[1].def:=true;
            sol[1].val:=-alpha*ch(v/3)+lambda3;
            if m then
               begin
               str(poly(_a,3,sol[1].val),str1);
               form1.memo1.lines.add(str1)
               end
            end
         end
      end
   end;
procedure More(var U2,lambda4 : extended; var ns : integer);
   begin
   if (U2 =0) then
      begin
      inc(ns);
      sol[ns].def:=true;
      sol[ns].val:=lambda4;
      str(poly(_a,4,sol[ns].val),str1);
      form1.memo1.lines.add(str1);
      end
   else
   if ( U2 > 0 ) then
      begin
      U2:=sqrt(U2);
      inc(ns);
      sol[ns].def:=true;
      sol[ns].val:=U2+lambda4;
      str(poly(_a,4,sol[ns].val),str1);
      form1.memo1.lines.add(str1);
      inc(ns);
      sol[ns].def:=true;
      sol[ns].val:=-U2+lambda4;
      str(poly(_a,4,sol[ns].val),str1);
      form1.memo1.lines.add(str1);
      end;
   end;
procedure bi_carre_D_Pos(var p,det,U2,lambda4 : extended; var ns : integer);
   begin
   det:=sqrt(det);
   U2:=(-p+det)/2;
   ns:=0;
   mst;
   More( U2,lambda4,ns);
   U2:=(-p-det)/2;
   More( U2,lambda4,ns);
   end;
procedure bi_carre_D0(var p,U2,lambda4 : extended; var ns : integer);
   begin
   U2 :=-p/2;  { solution en Z = Y^2 => y = +- sqrt(U2)}
   More(U2,lambda4,ns);
   end;
procedure solu_bi_carre( var U2,p,r,lambda4 : extended; var ns : integer);
var det       : extended;
    begin
    mst;
    ns:=0;
    str(lambda4,str1);
    det:=sqr(p) - 4*r;
    if ( det =0) then
       bi_carre_D0(p,U2,lambda4,ns)
    else
    if ( det > 0 ) then
       bi_carre_D_Pos(p,det,U2,lambda4,ns);
    end;
procedure bi_carre( var U2,p,r,lambda4 : extended; var  ns : integer);
var delta : extended;
   begin
   { U2 = Y^2,    U^2 + pU + r = 0 }
   delta := sqr(p) - 4*r;
   if (delta = 0 ) then
      begin
      U2:= -p/2;
      solu_bi_carre(U2,p,r,lambda4 ,ns)
      end
   else
   if ( delta > 0 ) then
      begin
      delta:=sqrt(delta);
      U2:=(-p+delta)/2;
      solu_bi_carre(U2,p,r,lambda4 ,ns);
      U2:=(-p-delta)/2;
      solu_bi_carre(U2,p,r,lambda4 ,ns);
      end;
   end;
procedure General_deg4(var p,q,r,lambda4 : extended);
   var _x          : S04;
       P0,Q0,R0    : extended;
       n,
       status      : integer;
       sx          : sl4;
 
      begin
      { y^4 + pY^2 + qY + r = 0 , q <> 0
      essayons de trouver P0, Q0, R0 tels que
      (y^2 + P)^2 - (Q0 y +R0)^2 = 0.
      solutions de l'équation réduite revient à résoudre:
         y^2 + P0 + Q0 * y + R0 = 0
              ou
         y^2 + P0 - Q0 * y - R0 = 0
 
      les coef doivent satistaire à :
 
          p    =       2*P0 - Q0^2
          q    =       -2*Q0*R0
          r    =       P0^2 - R0^2
 
      P0 est alors solution de
 
      P0^3 - (p/2)*P0^2 - r*P0 + p*r/2 - (1/8)*q^2 = 0
 
      }
      _x[3]:=1;
      _x[2]:=-p/2;
      _x[1]:=-r;
      _x[0]:=p*r/2-sqr(q)/8;
      poly_3(_x,false);
      n:=100;
      for status:=1 to 3 do if sol[status].def then
      if 2*sol[status].val > p then
         n:=status;
      if ( n <> 100 ) then
         begin
         P0:=sol[n].val;
         mst;
         Q0:=sqrt(2*P0-p);
         R0:=-q/2/Q0;
         { 1er equa Y^2 + Q0*Y +  P0 + R0 = 0 }
         _x[2]:=1;
         _x[1]:=Q0;
         _x[0]:=P0+R0;
         poly_2(_x);
         sx:=sol;
         { 2eme equa Y^2 - Q0*Y +  P0 - R0 = 0 }
         _x[2]:=1;
         _x[1]:=-Q0;
         _x[0]:=P0-R0;
         poly_2(_x);
         sx[3]:=sol[1];
         sx[4]:=sol[2];
         mst;
         sol:=sx;
         for n:=1 to 4  do if ( sol[n].def=true) then
            begin
            sol[n].val:=sol[n].val+lambda4;
            str(poly(_a,4,sol[n].val),str1);
            form1.memo1.lines.add(str1)
            end
         end
      end;
procedure poly_4(_a  : s04);
var
    a,b,c,d,
    U2,
    p,q,r,
    lambda4    : extended;
    ns         : integer;
 
 
   begin
   ns:=0;
   d:=1/_a[4];
   a:=_a[3]*d;
   b:=_a[2]*d;
   c:=_a[1]*d;
   d:=_a[0]*d;
   lambda4:=-a/4;
   {
   x^4  + a x^3  + b x^2  + c x  + d    =   0
 
    p = b - (3/8)*a^2 ;
     q =  c - a*b/2 + (1/8)*a^3 et
     r = d - a*c/4 + (1/16)*b*a^2 - (3/256)*a^4
   }
   p:=   b   - 3/8 *  sqr(a);
   q:=   c   - a*b/2 + 1/8 * a*sqr(a);
   r:=   d   - a*c/4 + b*sqr(a)/16  - 3/256 * sqr(sqr(a));
   { y^4 + pY^2 + qY + r = 0 }
   if ( q = 0) then
      bi_carre(U2,p,r,lambda4,ns)
   else
      General_deg4(p,q,r,lambda4)
   end;
var f,g,xmin,xmax,ymin,ymax : extended;
procedure TForm1.BitBtn2Click(Sender: TObject);
var str1 : string; i : integer; ch : char;
begin                            { degre = dg.itemindex+1 }
 
for status:=1 to 4 do sol[status].def:=false;
val(form1.edit0.text,_a[0],status);
if (status <> 0) then
   begin
   edit0.text:='---';
   exit;
   end;
val(form1.edit1.text,_a[1],status);
if (status <> 0) then
   begin
   edit1.text:='---';
   exit;
   end;
if (dg.itemindex>=1 ) then
   begin
   val(form1.edit2.text,_a[2],status);
   if (status <> 0) then
      begin
      edit2.text:='---';
      exit;
      end;
   end;
if (dg.itemindex>=2 ) then
   begin
   val(form1.edit3.text,_a[3],status);
   if (status <> 0) then
      begin
      edit3.text:='---';
      exit;
      end;
   end;
if (dg.itemindex>=3 ) then
   begin
   val(form1.edit4.text,_a[4],status);
   if (status <> 0) then
      begin
      edit4.text:='---';
      exit;
      end;
   end;
deg:=dg.itemindex+1;
case deg of
   1 : a:=_a[1];
   2 : a:=_a[2];
   3 : a:=_a[3];
   4 : a:=_a[4]
   end;
if (abs(a) < 1e-10) then
   begin
   case deg of
      1 : edit1.text:='***';
      2 : edit2.text:='***';
      3 : edit3.text:='***';
      4 : edit4.text:='***';
      end;
      exit;
   end;
mst;
str1:='';
for status:=deg downto 1 do
   begin
 
   case status of
      4 : str1:=str1 + edit4.text + ' X^' + istx(status) + '    ';
      3 : str1:=str1 + edit3.text + ' X^' + istx(status) + '    ';
      2 : str1:=str1 + edit2.text + ' X^' + istx(status) + '    ';
      1 : str1:=str1 + edit1.text + ' X'  +                '    ';
      end
   end;
panel5.caption:=' Y   =   ' + str1 + edit0.text;
case deg of
     1 : poly_1(_a);
     2 : poly_2(_a);
     3 : poly_3(_a,true);
     4 : poly_4(_a);
     end;
i:=0;
for status:=1 to 4 do if sol[status].def then
   begin
   str(sol[status].val,str1);
   inc(i);
   case status of
      1 : edit6.text:=str1;
      2 : edit7.text:=str1;
      3 : edit8.text:=str1;
      4 : edit9.text:=str1;
      end
   end
   else
      case status of
      1 : edit6.text:='%%%%%';
      2 : edit7.text:='%%%%%';
      3 : edit8.text:='%%%%%';
      4 : edit9.text:='%%%%%';
      end;
 
str(i,str1);
edit5.text:=str1;
 
series1.clear;
series2.clear;
series3.clear;
 
xmin:=1e35;
xmax:=-1e35;
for status:=1 to 4 do if sol[status].def then
   begin
   if   sol[status].val > xmax then
      xmax:=sol[status].val;  
   if   sol[status].val < xmin then
      xmin:=sol[status].val;
   end;
if (xmin > xmax) then
   begin
   xmin:=-10;
   xmax:=10;
   end;
if (xmax-xmin < 5) then
   begin
   f:=(xmin+xmax)/2;
   xmin:=f-2.5;
   xmax:=f+2.5;
   end;
 
   xmin:=xmin-0.5;
   xmax:=xmax+0.5;
   f:=(xmax-xmin)/500;
   for status:=0 to 500 do
      begin
      g:=xmin + f*status;
      series1.AddXY(g,poly(_a,deg,g),'',clred);
      series2.AddXY(g,0,'',clgreen);
      end;
   for status:=1 to 4 do if sol[status].def then
      begin
      series3.AddXY(sol[status].val,0,'',clblue);
      end;
 
end;
 
end.

Ci-dessus un petit code en delphi pour résoudre analytiquement (c.a.d pas par approximation succécive) les équations de degré <=4

Pour le degré 3 a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0=0
voici le principe
1- normaliser pour que le coefficient de x^3 vaille 1 [* 1/Coeff(x^3) qui est <>0 si on a un polynôme de @ 3]
L'équation devient
x^3 + a x^2 + bx+c
2- faire un changement de variable z=x+G en choisissant G pour que l'équation résultante n'ai plus de terme en x^2 ( G=-a/3)
L'équation devient
z^3 + pz+q=0
si p=0 alors z^3=q. Une racine triple pour z=z0 => x
*****

si p <>0
******
alors on calcul H = racine[ (4*|p|/3) ]
et on fait le changement de variable Z= H*z
l'équation s'écrit alors
-si p>0
******
4Z^3 + 3Z+Q=0
si on pose Z=sh(u) alors 4sh(u)^3 + 3sh(u)+Q=0 ce qui s'écrit encore sh(3.u)=-Q d'où u => Z=Z0 => z=z0 => x=x0 [pour rappel la réciproque de sh = ln(v+sqrt(1 + v*v))/3]. Donc une racine réelle x0. La factorisation du polynôme d'origine donne (x-x0)(k2 x^2 + k1x+k0). les 2 racines complexes du polynême de @2 sont faciles
-si p<0
*****
4Z^3 - 3Z+Q=0
Là il faut encore séparer en 2 cas
si |Q|<=1
=======
on pose Z= cos(t)
d'où cos(3.t) = -Q d'où 3 racines réelles pour t => Z=Z0,1,2 => z=z0,1,2 => x=x0,1,2

si |Q|>1
=======
on pose Z= ch(t) pour Q>0 et Z=-ch(t) pour Q<0
d'où ch(3.t)=|Q| d'où t=t0 [ln(v+sqrt(v*v-1))= reciproque de ch ]. Une racine réelle et 2 complexes conjuguées (si les coefs d'origine sont réels)

[Aleph69]

Bonjour,

si tu veux résoudre ton problème à la main, tu peux utiliser la méthode de Cardan.

[tanaka59]

Hello

Merci , j'ai pu trouvé effectivement une solution avec ce qui a été proposé (méthode de cardan + wolfram )