Discussion :

[teodor21]

Bonjour tout le monde,

Je veux vous poser une question.

Quelle sont les différences essentielles entre l'approximation par collocation, l'approximation au sens des moindres carrés et les approximation robustes et dans quels cas faut-il utiliser une famille de méthodes plutôt qu'une autre?


Merci beuacoup

[FR119492]

Salut!
Pour te répondre, nous devons savoir

1. ce que tu as (tes données)
2. ce que tu cherches

Jean-Marc Blanc

[souviron34]

Pour répondre à ton titre, l'approximation au sens des moindres carrés minimise et symétrise l'écart entre la solution et les points de mesure..

Elle se base sur l'ensemble des points de mesure, et fourni une "moyenne".

La condition est d'avoir l'idée de la fonction que l'on recherche.

[Alexis.M]

Je ne connais pas le terme de "co-location", il s'agit d'une regression par k-plus proches voisins ?

La regression par moindre carrés peu être vue comme l'estimation optimale (maximum de vraisemblance)
des paramètres d'un modèle où l'erreur est modélisée par une distribution gaussienne. Comme la distribution gaussienne décroît très vite, le résultat peut
être perturbé par la présence de points éloignés de la tendance moyenne (outliers). Les méthodes d'estimation robustes modélisent donc la distribution des erreurs avec une fonction tenant mieux comptes de ces outliers (distribution de lorentz par exemple).

[Ehouarn]

Bonjour,

Les méthodes dites de "collocation" (mais le terme est peu utilisé) désignent simplement les méthodes où on impose à l’approximation de passer exactement par les points de mesure (par ex. en utilisant les polynômes de Lagrange).

Bonne continuation.

[souviron34]

mais alors ce n'est pas une approximation mais une interpolation (comme un spline), non ??

[FR119492]

Salut!

ce n'est pas une approximation mais une interpolation

"Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement,
Et les mots pour le dire arrivent aisément."
(Nicolas Boileau)

[Aleph69]

Bonjour,

mais alors ce n'est pas une approximation mais une interpolation (comme un spline), non ??

Les interpolations sont bien des approximations : ce sont justement les approximations où l'on impose la contrainte supplémentaire d'approcher exactement une fonction en un certain nombre de points (cf remarque de Ehouarn).

[souviron34]

Salut ...

Les interpolations sont bien des approximations : ce sont justement les approximations où l'on impose la contrainte supplémentaire d'approcher exactement une fonction en un certain nombre de points (cf remarque de Ehouarn).

Interpolation (Larousse)

Opération consistant à déterminer, à partir d'une série statistique succincte aux valeurs trop espacées, de nouvelles valeurs correspondant à un caractère intermédiaire pour lequel aucune mesure n'a été effectuée.

Approximation (Larousse)

Action de s'approcher de la réalité, de la vérité ; évaluation approchée : Chercher par approximations à cerner la vérité.

Ou alors nous n'avons pas le même français, mais interpolation et approximation n'ont pas le même sens ... Ce que souligne également FR11942

Je t'accorde que tu n'es pas le seul à mélanger, un certain nombre de publications et de profs le font aussi..

Cependant il y a une différence fondamentale...

Qui est celle pointée par la nuance sur le post auquel je faisais référence...

Toi, lui, et pas mal de gens aujourd'hui font un abus de langage, en assimilant les 2, alors qu'en fait justement il y a 2 notions bien distinctes.. Et que du coup les méthodes pour les résoudre sont bien distinctes...

Avoir une "approximation" qui passe par tous les points de mesure, ce n'est pas une approximation au sens réel.. A moins que la fonction soit "parfaite" et sans bruit..

C'est bien pour ça que l'on appelle "cubic spline interpolation" et non "cubic spline approximation"... ou bien "interpolation linéaire", opposé à "régession linéaire" ou "moindres carrés", qui, elles, sont des méthodes d'approximation..

[Aleph69]

Salut Souviron34,

quelle idée farfelue d'aller chercher des définitions mathématiques dans le Larousse!
Malheureusement, je ne vois pas bien le sens de ton intervention car ce dernier dit en substance la même chose qu'Ehouarn et moi.

Opération consistant à déterminer, à partir d'une série statistique succincte aux valeurs trop espacées, de nouvelles valeurs correspondant à un caractère intermédiaire pour lequel aucune mesure n'a été effectuée.

C'est peut-être le verbe déterminer qui t'induit en erreur ici? Tu penses que ces valeurs intermédiaires sont déterminées de façon exacte?

Ou alors nous n'avons pas le même français, mais interpolation et approximation n'ont pas le même sens ...

Personne n'a prétendu synonymie entre les deux termes, seulement que les interpolations sont des approximations.

Je t'accorde que tu n'es pas le seul à mélanger, un certain nombre de publications et de profs le font aussi..

oui, à commencer par Lagrange, Newton, Legendre, Cauchy, Jacobi, Weierstrass, ...

Avoir une "approximation" qui passe par tous les points de mesure, ce n'est pas une approximation au sens réel.. A moins que la fonction soit "parfaite" et sans bruit..

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

C'est bien pour ça que l'on appelle "cubic spline interpolation" et non "cubic spline approximation"...

Pour l'European Mathematical Society, on parle bien d'approximation par splines. Je cite :

As in the classical theory of approximation of functions, one studies linear methods of spline approximation (including spline interpolation), best methods, and also approximations by classes of non-linear splines, such as splines with variable knots.

Convaincu?

[FR119492]

Bonjour à tous!
En faisant le tour de ma monstrueuse collection d'ouvrages mathématiques et techniques, je suis tombé sur le livre de J. Legras: "Précis d'analyse numérique". Le chapitre 6 est intitulé: "Interpolation d'une fonction". Le chapitre 7: "Approximation d'une fonction" commence par la phrase suivante: "Le problème de l'approximation est fondamentalement différent de l'interpolation".
Jean-Marc Blanc

[Ehouarn]

Bonjour,

Le chapitre 7: "Approximation d'une fonction" commence par la phrase suivante: "Le problème de l'approximation est fondamentalement différent de l'interpolation".

Quite à citer, c'est dommage de ne citer que l'affirmation et pas le contexte ni l'explication qui suit...

Mais bon, on est tous d'accord que c'est une question de sémantique et d'interprétation, et comme les contextes dans lesquels on souhaite approximer (une fonction connue? Une fonction inconnue? Une fonction arbitrairement décrétée? Le voisinage d'un ensemble fini et figé de données, etc.) sont vastes, les terminologies associées le sont (forcément, à mon avis) également.

Ehouarn

[Aleph69]

Bonjour FR119492,

En faisant le tour de ma monstrueuse collection d'ouvrages mathématiques et techniques,

Toutes mes félicitations!

je suis tombé sur le livre de J. Legras: "Précis d'analyse numérique". Le chapitre 6 est intitulé: "Interpolation d'une fonction". Le chapitre 7: "Approximation d'une fonction" commence par la phrase suivante: "Le problème de l'approximation est fondamentalement différent de l'interpolation"

Je rejoins Ehouarn : en quoi? Comment le justifie-t-il?

Deux remarques/questions :
1. en analyse numérique, on approche bien les solutions des systèmes d'équations aux dérivées partielles en interpolant par éléments finis;
2. mais alors selon toi à quoi sert l'interpolation si ce n'est pas pour faire de l'approximation? Quel problème bien curieux à mener les mathématiciens à chercher l'expression de fonctions passant par un ensemble de points donnés?

[souviron34]

Quel problème bien curieux à mener les mathématiciens à chercher l'expression de fonctions passant par un ensemble de points donnés?

C'est très simple : c'est un problème de PHYSIQUE

Quand tu as des mesures de certains paramètres, c'est à cet endroit-là et pas à un autre...

Tu ne cherches donc pas une fonction qui pourrait s'approcher au mieux de l'ensemble des points, mais qui passe par ces points-là...

• Si tu as fait une étude statistique et que tu as un échantillon de points, là tu vas effectuer une approximation pour avoir les paramètres statistiques correspondant à ta distribution...
  
  
• Si tu as une série de mesures discrètes, dont tu sais ou subodores qu'elles sont vraies/exactes (par exemple le nombre de tours/minutes d'un moteur) aux pas de mesures, tu vas faire une interpolation entre ces pas...

C'est bien pour ça que ce sont 2 concepts orthogonaux : l'un est statistique (tu as d'ailleurs une mesure du "coefficient de corrélation" ou de l'écart-type), l'autre est une manière de trouver des points entre des points qu'on sait exacts (PAS d'incertitude au sens statistique sur ces points)..

[Aleph69]

Si tu as une série de mesures discrètes, dont tu sais ou subodores qu'elles sont vraies/exactes (par exemple le nombre de tours/minutes d'un moteur) aux pas de mesures, tu vas faire une interpolation entre ces pas...

Ma question est : dans quel but?

[souviron34]

Pour avoir la valeur a un x que tu connais...

La difference de fond entre les 2 approches est que dans l'une tu connais la fonction et tu cherches des valeurs a des x donnes, dans l'autre tu connais des valeurs et tu cherches la fonction..

Comme tu peux voir, c'est aussi bien philosophiquement que pratiquement que mathematiquement totalement different...

Je ne comprend pas qu'on ne vous ai pas explique ca : c'est la base meme de tout....


Prenons un exemple :

Tu sais que ton moteur tourne a 60 t/min

Tu veux savoir combien de fois il a tourne en 1 min /2, parce que un certain calcul depend de cette valeur..

Facile. Tu INTERPOLES.... : tu as une fonction definie en entree, tu y injectes un x et ca te ressort un y..


Maintenant autre exemple :

Tu fais des mesures sur un phenomene.. Quand tu les traces sur un graphique, ca ressemble fort a une sinusoide... Tu cherches donc les parametres d'une sinusoide qui minimise au mieux les ecarts des points avec cette courbe ideale... Tu APPROXIMES... Tu cherches a obtenir la fonction A PARTIR de laquelle tu pourras faire une interpolation..


Si l'on reprend les splines :

Tu modelises que la forme devrait etre une cubique, continue en derivee premiere et seconde. Regarde tous les algos de splines, ils sont coupes en 2 parties : la PREMIERE est la recherche des parametres, c'est a dire de chaque cubique par troncon, PUIS une deuxieme partie qui fait de l'interpolation...

C'est bien pour ca qu'on parle d'APPROXIMATION...

Alors que dans une INTERPOLATION lineaire, tu consideres que chaque mesure est exacte, et tu interpoles entre chaque paire de points consecutifs. Cela te donne donc une ligne brisee.

[Ehouarn]

La difference de fond entre les 2 approches est que dans l'une tu connais la fonction et tu cherches des valeurs a des x donnes, dans l'autre tu connais des valeurs et tu cherches la fonction..

C'est à mon avis un point de vue bien trop réducteur.
Dans le premier cas il faut d'abord savoir ce qu'on entend par "connaitre" la fonction et dans le deuxième on ne cherche généralement pas la fonction mais une approximation de celle-ci.

Prenons un exemple :

Tu sais que ton moteur tourne a 60 t/min

Tu veux savoir combien de fois il a tourne en 1 min /2, parce que un certain calcul depend de cette valeur..

Facile. Tu INTERPOLES.... : tu as une fonction definie en entree, tu y injectes un x et ca te ressort un y..

Bof, dans ce cas tu as plutôt postulé un modèle (qui te dis que le moteur tourne et tournera toujours à vitesse constante?), que certains appelleront une approximation, et ensuite tu l'as appliqué.

Mais bon, comme je le disais précédemment les portées et contextes d'application dans lesquels on approxime et interpole sont si vaste qu'on peut pinailler longuement sur ce quelle définition utiliser; elle dépendra surtout du contexte.

[souviron34]

Ce n'est pas une question de point de vue..

C'est une réalité mathématique, physique, et philosophique, telle que Jean-Marc pointe également que c'est valable dans tous les livres d'analyse numérique...

Il y a 2 problèmes, qui sont diamétralement opposés : on a des points qui sont signifcatifs individuellement , ou des points qui sont signifcatifs statistiquement ...

Dans le premier cas, on peut modéliser de manière différente l'intervalle entre les points, mais on doit passer par les points...

Pour ce faire, on interpolera les valeurs aux points suivant différents schémas.. (linéaire, cubique, autre).

Dans le second cas, il faut trouver la fonction sous-tendue par les points (on cherchera une fonction qui minimise tel ou tel critère.. Une Approximation est une modélisation, en vue d'obtenir une fonction..

Les modélisations peuvent être de pleins de types différents : droite, cubique, autres suivant le problème (une enveloppe convexe est une approximation du contour d'un nuage de points par exemple).

Une fois cette modélisation effectuée, on en tire un jeu d'équations, une formule.

L'interpolation consistera simplement à injecter un jeu de données en entrée et en ressortir le paramètre demandé (en 2D on injectera un x et en sortira le y correspondant.).


Je suis réellement abasourdi que ce point soit à éclaircir pour des gens comme vous... L'enseignement scientifique a grandemenant failli...

Ce n'est pas une question de détail ni de vocabulaire...Ce sont 2 concepts orthogonaux, qui du coup ont des méthodes de résolution et de pensées totalement différentes..

C'est la B.A.BA de la science.. Je ne comprend vraiment pas...


Alors on vous enseigne tout un tas de trucs pointus, mais pas le B.A.BA...

Du coup, vous faites des fausses assimilations et propagez des à-peu-près et des fausses notions..



Par exemple, en géomatique, la Terre est approximée par un ellipsoide de révolution. Mais les cartes ou les calculs de distance sont interpolées en fonction de la représentation choisie.. Ce sont 2 choses différentes... : on ne dira pas "la distance est approximée par X km", mais "la distance est de X km en utlisant l'approximation de la Terre ZZ"

[Aleph69]

Tu sais que ton moteur tourne a 60 t/min

Tu veux savoir combien de fois il a tourne en 1 min /2, parce que un certain calcul depend de cette valeur..

Facile. Tu INTERPOLES.... : tu as une fonction definie en entree, tu y injectes un x et ca te ressort un y..

Je me rends compte que tu débats sans même savoir ce qu'est une interpolation.

[Invité]

Dans le premier cas il faut d'abord savoir ce qu'on entend par "connaitre" la fonction

Dans le cas de l'interpolation, tu "connais" la fonction parce qu'elle t'est donnée à l'avance. On interpole toujours "par quelque chose", des splines, des segments, des sinusoides. Et on le fait toujours dans le même but : obtenir la valeur de cette fonction en un point particulier.

Francois