Discussion :

[Invité]

Par ailleurs, si on met des hypothèses de régularité, ce n'est pas pour rien; la fonction cosinus n'est pas intégrable sur R et l'interpolation, du moins au sens où je l'entends, n'a pas de sens sur un domaine non borné.

Considère alors l'intervalle [-1e10, 1e10], borné, compact, tout.. et le comportement du développement limité du cosinus...

Ou bien considères cos(x)/sqrt(x) sur un segment (a,+ inf), tu auras le même problème, malgré la convergence de l'intégrale.

Je ne vois pas la pirouette. Où se trouve-t-elle?

Dans NR, on te dit que l'extrapolation, c'est quand tu sors du segment, et on t'affirme que "ça marche mal", mais tu auras du mal à trouver une preuve de cette affirmation.

J'appelle cela une pirouette...

L'erreur d'approximation est définie à partir de la norme L^1 en définissant les intégrales au sens de Riemann. Si on note ||.|| cette norme, il faut lire ||f-p|| au lieu de |f-p|. La quantité |f(x)-p(x)| est une valeur absolue (ce que j'appelle norme canonique sur R, c'est l'application valeur absolue).

On se retrouve alors dans un problème d'approximation.

Ah... là pour le coup c'est toi qui a une définition très personnelle de l'interpolation. En toute franchise, je pense ne jamais l'avoir rencontrée dans aucun livre. Du coup, c'est un peu dommage d'appeler cela une interpolation...

On retombe dans le subjectif, la rectification des noms, comme disait confucius.

je termine la phrase : [I]"which is considerably more hazardous (as many former investment analysts can attest)"
[/I

En coupant cette fin, je me doutais que tu me la citerais... Sérieusement, il n'y a pas grand chose qui justifie cette remarque. Si l'on se limite à la définition stricte de l'interpolation que donne NR, l'extrapolation est une interpolation.

Quant à la qualité de l'approximation obtenue, ce n'est pas une question d'être dans ou hors du segment où les valeurs sont définies, on a exactement le même problème à l'intérieur du segment quand, interpolant par des polynomes ayant des racines complexes, on tombe, par malchance, sur les pôles de celles ci (c'est une des raisons pour laquelle on utilise les approximations de Padé).

Le débat interpolation/extrapolation est, à mon avis un faux débat, qui date de l'époque où l'on ne comprenait pas les fonctions analytiques, et qui est défendu, de nos jours, par des personnes qui n'ont pas bien compris les conséquences du "plongement complexe".

Il y a un vrai problème, mais ce n'est pas celui de l'extrapolation

Francois, fasciné de voir qu'on arrive malgré tout à une discussion intéressante

[Aleph69]

Si j'ai bien compris ta position :
P1. il n'y a pas de fonction inconnue dans le problème d'interpolation;
P2. interpolation et extrapolation sont une seule et même chose;
P3. dans l'interpolation, on ne choisit pas les points de mesure;
P4. dans l'approximation, on choisit les points de mesure.

Je ne vois pas comment P1 et P3 peuvent être vraies en même temps. Je veux bien un exemple d'une telle situation.

Ensuite, considérons une interpolation affine par morceaux : c'est celle qui est faite quand tu utilises la fonction plot de ton logiciel préféré. C'est donc la fonction obtenue en reliant de proche en proche les points de mesure par des droites. Considérant P2, comment définis-tu ta fonction en dehors du segment défini par les points de mesure?

Considère alors l'intervalle [-1e10, 1e10], borné, compact, tout.. et le comportement du développement limité du cosinus...

Ou bien considères cos(x)/sqrt(x) sur un segment (a,+ inf), tu auras le même problème, malgré la convergence de l'intégrale.

Comme je l'ai déjà écrit, je vais avoir du mal à considérer un problème d'interpolation dans un domaine non borné. Mais même dans le cas du segment [-1e10, 1e10], je ne vois pas ce que tu cherches à montrer avec ton développement limité. Tu peux préciser ta pensée?

Dans NR, on te dit que l'extrapolation, c'est quand tu sors du segment, et on t'affirme que "ça marche mal", mais tu auras du mal à trouver une preuve de cette affirmation.

J'appelle cela une pirouette...

Disons plutôt que tant que tu restes entre les points de mesure, tu peux toujours faire en sorte que "ça marche bien".

On se retrouve alors dans un problème d'approximation.

Nous sommes d'accord. J'en prends bonne note pour la suite.

Si l'on se limite à la définition stricte de l'interpolation que donne NR, l'extrapolation est une interpolation.

Je ne vois pas du tout en quoi. Pour rappel : "If the desired x is in between the largest and the smallest of the xi's, the problem is called interpolation; if it is outside of its range, it is called extrapolation".

Quant à la qualité de l'approximation obtenue, ce n'est pas une question d'être dans ou hors du segment où les valeurs sont définies, on a exactement le même problème à l'intérieur du segment quand, interpolant par des polynomes ayant des racines complexes, on tombe, par malchance, sur les pôles de celles ci (c'est une des raisons pour laquelle on utilise les approximations de Padé).

Désolé, je ne vois pas de quoi tu parles. Tu parles de fonctions polynomiales ou rationnelles? De racines ou de pôles?

Le débat interpolation/extrapolation est, à mon avis un faux débat, qui date de l'époque où l'on ne comprenait pas les fonctions analytiques, et qui est défendu, de nos jours, par des personnes qui n'ont pas bien compris les conséquences du "plongement complexe".

Je ne vois pas le rapport.

[Invité]

Si j'ai bien compris ta position :
P1. il n'y a pas de fonction inconnue dans le problème d'interpolation;
P2. interpolation et extrapolation sont une seule et même chose;
P3. dans l'interpolation, on ne choisit pas les points de mesure;
P4. dans l'approximation, on choisit les points de mesure.

Je ne vois pas comment P1 et P3 peuvent être vraies en même temps. Je veux bien un exemple d'une telle situation.

Le cas de données comptables, par exemple, qui ne sont déterminées qu'en fin d'exercice (ou de période de reporting) et qu'on peut vouloir interpoler en milieu d'année. La fonction n'est pas définie au point d'interpolation.

On ne choisit pas les points d'évaluation: en fait on n'a pas le choix, on ne dispose que des dates de fin d'exercice.

Je ne vois pas la contradiction.

Ensuite, considérons une interpolation affine par morceaux : c'est celle qui est faite quand tu utilises la fonction plot de ton logiciel préféré. C'est donc la fonction obtenue en reliant de proche en proche les points de mesure par des droites. Considérant P2, comment définis-tu ta fonction en dehors du segment défini par les points de mesure?

Tu devras avoir une convention, soit prolonger le dernier segment, soit choisir une constante. Si tu cherches à déterminer une valeur légèrement au delà du dernier point, je pense que tu appliqueras une de ces solutions, sans trop te dire que c'est impossible parce qu'on est dans une "extrapolation"...

Ce qui est en cause ici, c'est la définition de ta méthode de calcul, pas la valeur de l'interpolation.

Comme je l'ai déjà écrit, je vais avoir du mal à considérer un problème d'interpolation dans un domaine non borné. Mais même dans le cas du segment [-1e10, 1e10], je ne vois pas ce que tu cherches à montrer avec ton développement limité. Tu peux préciser ta pensée?

C'est un problème pratique : la série de Taylor de cos(x) a un rayon de convergence infini, elle permet donc une approximation "parfaite" en tout point de R, en théorie.

En pratique, si |x| est grand les termes de la série commencent par croître, et le nombre de termes nécessaires pour arriver à une certaine précision s'accroit en fonction de x, et le calcul devient inefficace.

Bon, ça va être à mon tour de m'arrêter là. Tout ceci prend pas mal de temps pour bien peu de résultat.

Francois

[Alexis.M]

Tout d'abord un point de vocabulaire, pour moi "fonction d'interpolation" et la façon de distinguer la fonction utilisée pour l'interpolation de la fonction que l'on souhaite interpoler. Donc polynôme d'interpolation, signifie juste qu'on utilise un polynôme pour interpoler plutôt qu'un autre type de fonction, c'est en tout cas comme cela que je le comprends.

Considère alors l'intervalle [-1e10, 1e10], borné, compact, tout.. et le comportement du développement limité du cosinus...

Ou bien considères cos(x)/sqrt(x) sur un segment (a,+ inf), tu auras le même problème, malgré la convergence de l'intégrale.

C'est bien pour ça qu'on fait de l'interpolation par morceau. Parce que localement on peut toujours approcher une courbe par un polynôme de degré faible. Et d'ailleurs c'est ce que j'essayais de dire lorsque que je disais que la fonction devait avoir de bonnes propriétés. Grosso modo sur chaque intervalle d'interpolation les termes de la série de Taylor d'ordre supérieur au degré du polynôme d'interpolation doivent être négligeables.

C'est ce que j'appelais de bonnes propriétés locales.

[Aleph69]

Bon, ça va être à mon tour de m'arrêter là. Tout ceci prend pas mal de temps pour bien peu de résultat.

Bon vent!