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Mathématiques Discussion :

Problème avec une distance


Sujet :

Mathématiques

  1. #21
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    Comme vous le savez les distance sont équivalentes cependant la distance euclidienne est compliqué à calculer dans notre cas et la distance de Manhattan est celle qui lui est la plus proche et la plus facile à calculer.

    Maintenant je souhaite savoir comment calculer cette distance maximale.

  2. #22
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    Citation Envoyé par Onimaru Voir le message
    Comme vous le savez les distance sont équivalentes
    Uniquement en dimension finie et uniquement si elles sont définies à partir d'une norme parce que ce sont les normes qui sont équivalentes en fait. Je me doute que tu le sais mais je préfère préciser pour ceux qui pourraient consulter la discussion.

    Citation Envoyé par Onimaru Voir le message
    Maintenant je souhaite savoir comment calculer cette distance maximale.
    Je ne sais pas et je pense que la distance l1 ne simplifie rien, même en pondérant.

  3. #23
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    Uniquement en dimension finie et uniquement si elles sont définies à partir d'une norme parce que ce sont les normes qui sont équivalentes en fait. Je me doute que tu le sais mais je préfère préciser pour ceux qui pourraient consulter la discussion.
    Merci, c'est bien ce que je veux : les précisions.
    Cependant je n'ai pas compris votre explication.

    Je ne sais pas et je pense que la distance l1 ne simplifie rien, même en pondérant.
    Quelqu’un d'autre le sait peut être, merci encore.

  4. #24
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    Bonsoir Onimaru et à tous,

    Ton problème me fait penser à une résolution de polynôme de degré supérieur à un degré 4. Dans ce cas, il n'y a pas de formule évidente à ce niveau à part pour des polynômes "particulier". Il est possible que ton problème n’ait pas de solution évidente et dans ce cas seul l'analyse numérique pourra te trouver une solution.

    Cordialement.

  5. #25
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    Citation Envoyé par dev_ggy Voir le message
    Bonsoir Onimaru et à tous,

    Ton problème me fait penser à une résolution de polynôme de degré supérieur à un degré 4. Dans ce cas, il n'y a pas de formule évidente à ce niveau à part pour des polynômes "particulier". Il est possible que ton problème n’ait pas de solution évidente et dans ce cas seul l'analyse numérique pourra te trouver une solution.

    Cordialement.
    Merci pour l’éclaircissement, je vais voir ce je peux faire.

  6. #26
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    Salut,

    le seul conseil que je puisse te donner c'est de décrire complètement la manière dont tu es arrivé à ce problème difficile car il n'est pas impossible que tu n'ais pas adopté la bonne méthodologie. Tu as l'air de tomber dans certains pièges mathématiques connus des personnes qui ont déjà fait un peu d'optimisation continue.

    Tu n'es pas obligé de me croire sur parole mais je vais te donner un exemple qui, je l'espère, te convaincra. Ton argument en faveur de la distance l1 (Manhattan) par rapport à la distance l2 (euclidienne) n'est pas bon mais révèle que tu n'es pas suffisamment à l'aise avec les bases de la recherche d'extrema pour t'attaquer à un problème aussi compliqué. Il y a en effet un résultat qu'il faut absolument connaître avant de chercher les points stationnaires d'une fonctionnelle : si f est une fonction croissante alors la composée "f o g" atteint son minimum et son maximum aux mêmes points que g pour toute fonctionnelle g correctement définie. C'est ce principe qui est utilisé dans la méthode du maximum de vraisemblance où on préfère rechercher les extrema du logarithme de la vraisemblance plutôt que de la vraisemblance elle-même. C'est également pour cela que, dans ton cas, maximiser la norme euclidienne revient à maximiser son carré et qu'il n'est donc ni nécessaire ni conseillé de faire apparaître la racine carrée de la norme, c'est-à-dire qu'il n'y a fondamentalement aucune différence entre les normes l1 et l2 à quelques carrés près qui bien sûr ne posent aucun problème lors des dérivations.

    Bref, j'ai l'intime conviction que tu t'y prends mal et que le problème que tu te poses pourrait déjà être grandement simplifié en utilisant tous les outils théoriques à ta disposition.

  7. #27
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    J'ajouterais également que:

    - non, toutes les distances ne sont pas équivalentes:
    optimiser sum_i (x_i - y_i)^2 ou sqrt(sum_i (x_i - y_i)^2) donne bien
    les même solutions mais optimiser sum_i |x_i - y_i | certainement pas.

    - si tu ne sais pas quelle fonction de distance optimiser c'est que ton problème
    est mal posé, dans le sens où tu ne sais pas quel est le sens de la distance que tu utilises.
    Que représentent les points sur ta courbe et que signifie la distance entre ces points ?

  8. #28
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    Salut Alexis,

    l'équivalence entre les normes lp peut être utile. Par exemple, si on cherche à minimiser la norme euclidienne ||.||_2 sur un sous-espace E et que ce minimum est atteint en v dans E, alors par définition
    ||v||_2<=||u||_2 pour tout u dans E.
    Or, les normes ||.||_1 et ||.||_2 étant équivalentes, il existe une constante c>0 et une constante C>0 telles que
    c||v||_1<=||v||_2<=||u||_2<=C||u||_1 pour tout u dans E.
    Par conséquent, on a
    ||c*v/C||_1<=||u||_1 pour tout u dans E.

  9. #29
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    Ok, il existe une relation d'équivalence au sens mathématique entre les normes, mais en aucun cas cela ne signifie que les solutions trouvées sont les mêmes (c'est comme cela que je l'avais compris).

  10. #30
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    Ce ne sont pas les mêmes mais elles sont liées. Il faut chercher les bonnes constantes c et C pour rester dans E (entre autres!). Par exemple, si E contient 0, alors il suffit de prendre c=0 ou C=infini. Comme tu l'écris, ça ne résout pas directement le problème mais ça permet de le formuler différemment en travaillant avec une norme plus adaptée. Tel que le problème a été posé par Onimaru, il semblerait que la norme infinie s'adapte le mieux mais il faudrait être sûr que ce problème a été formulé de la manière la plus simple possible... petite relance au passage!

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